OMA – Intercolegial 2012 – Problema 3

18 may

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Sea ABCD un rectángulo con AB = 12 y AD = 5. Se  traza por D una perpendicular a la diagonal BD que corta a la prolongación de BA  en P y a la prolongación de BC en Q. Calcular la medida de PQ.

Solución

Empezamos esbozando un gráfico, ¿y después?

…

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OMA – Intercolegial 2012 – Problema 2

18 may

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Sea S=5+5^2+5^3+...+5^{2012} la suma de todas las  potencias de 5, desde 5 hasta 5^{2012}. Calcular el resto de  dividir S por 8.

Solución:

¿Y ahora que hago?

…

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OMA – Intercolegial 2012 – Problema 1

18 may

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Se tienen tres cubos rojos iguales entre sí y  tres cubos verdes, iguales entre sí y más pequeños que los cubos rojos. El  volumen total de los seis cubos es igual a 840 cm^3. Si se hace una torre con los seis cubos la altura es de 30 cm. Hallar las dimensiones de los cubos sabiendo que las longitudes de sus aristas son todos números enteros.

Solución

x: arista de los cubos rojos.

y: arista de los cubos verdes

¿Cómo seguir?

 

…

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Ejercicio 1 – TP6

14 abr

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Dadas las matrices:

A=\left[\begin{array}{ccc}<br /> 1&2&-3\\<br /> 4&0&-2\\<br /> 1&-1&1<br /> \end{array}\right]

B=\left[\begin{array}{c}<br /> 5\\<br /> 1\\<br /> 0<br /> \end{array}\right]

C=\left[\begin{array}{cc}<br /> -5&3\\<br /> 8&4<br /> \end{array}\right]

D=\left[\begin{array}{ccc}</p> <p>2&4&-1<br /> \end{array}\right]

E=\left[\begin{array}{cc}<br /> 1&3\\<br /> 0&2\\<br /> -1&4<br /> \end{array}\right]

F=\left[\begin{array}{ccc}<br /> 3&-1&2\\<br /> 4&2&5\\<br /> 2&0&3<br /> \end{array}\right]

a) Expresar el orden de cada matriz

  • A_{3x3}
  • B_{3x1}
  • B_{2x2}
  • B_{1x3}
  • B_{3x2}
  • B_{3x3}

b) Hallar, si es posible, la matriz P de modo que A + P = F

Es posible hallar la matriz P, dado que el orden las matrices A y F es igual.

P=F-A

c) Calcular, si es posible:

 

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tp3-ejer20-a

Ejercicio 20 – TP3

10 mar

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Expresar las ecuaciones de las parábolas, sabiendo que:

a) F(4,0)

tp3-ejer20-a

b) F(-5,0)

tp3-ejer20-b

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tp3-ejer19-a

Ejercicio 19 – TP3

10 mar

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Para cada una de las siguientes parábolas indicar:

  • Longitud del parámetro p
  • Coordenadas del foco
  • Ecuación de la directriz
  • Trazar un esquema de la curva

a) y^2=4x

y^2=4px

Igualando

4px=4x

Parámetro p

p=1

Foco

F=(p,0)=(1,0)

Directriz

x=-p
x=-1

tp3-ejer19-a

\\

b) y^2=-6x

y^2=-4px

Igualando

-4px=6x

Parámetro p

p=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}

Foco

F=(0,-p)=(0,-\frac{3}{2})

Directriz

x=-p
x=-1

tp3-ejer19-b

c) \displaystyle y^2=\frac{1}{2}x

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Ejercicio 18 – TP3

10 mar

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Para cada una de las siguientes hipérbolas indicar:

  • La posición
  • La longitud del eje transversal
  • La longitud del eje conjugado
  • Coordenadas de los focos
  • Ecuaciones de las asíntotas
  • Trazar un esquema de la curva

a) \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

c) \displaystyle \frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{9}=1

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Ejercicio 17 – TP3

10 mar

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Cada una de las siguientes elipses esta en su posición ordinaria y tienen su centro en el origen. Expresar la ecuación correspondiente en cada caso:

a) Un vértice en (6,0) y un extremo del eje menor (0,2)

b) Un vértice en (-5,0) y un foco en (-2,0)

c) Un extremo del eje menor en (-4,0) y un foco en (0,1).

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tp3-ejer16-a

Ejercicio 16 – TP3

10 mar

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Para cada una de las siguientes elipses indicar:

  • Longitud del eje mayor
  • Longitud del eje menor
  • Coordenadas de los focos
  • Trazar un esquema de la curva

a) \displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1

c) 3x^2+y^2=3

Ver Elementos de la Elipse

\\

a) \displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1

a^2=100 \Rightarrow a=10

b^2=36 \Rightarrow b=6

c=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8

  • Eje mayor = 2a = 20
  • Eje menor = 2b = 12
  • F=(8,0) y F’=(-8,0)
  • tp3-ejer16-a

\\

 

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1

a^2=9 \Rightarrow a=3

b^2=16 \Rightarrow b=4

c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}

  • Eje mayor = 2b = 8
  • Eje menor = 2a = 6
  • F=(0,\sqrt{7});F'(0,-\sqrt{7})
  • tp3-ejer16-b

\\

c) 3x^2+y^2=3

\displaystyle \frac{3x^2+y^2}{3}=\frac{3}{3}

\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}=1

a^2=1 \Rightarrow a=1

b^2=3 \Rightarrow b=\sqrt{3}

c=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}

  • Eje mayor = 2b = 2\sqrt{3}
  • Eje menor = 2a = 2
  • F(0,\sqrt{2}),F'(0,-\sqrt{2})

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Ejercicio 15 – TP3

10 mar

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Estudiar la posición relativa de la circunferencia x^2+y^2-4x+2y-20=0 con las rectas:

  • x+7y-20=0
  • 3x+4y-27=0
  • x+y-10=0

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