roberprof. Matemática y algo más

31 Ene 2010

Números racionales y expresiones decimales

10:20H

“Todo número racional puede expresarse en forma decimal exacta o periódica.”

Para comprobar el enunciado anterior basta con dividir al numerador por el denominador de la fracción.

Ejemplos:

$\displaystyle \frac{9}{4}=2,25$ Decimal exacto
$\displaystyle \frac{5}{3}=1,333...$ Decimal periódico puro
$\displaystyle \frac{5}{6}=0,8333...$ Decimal periódico mixto

“Toda número decimal exacto o periódico puede expresarse como una fracción.”

Ejemplos:

$x=1,35$

Multiplicamos por 100

$100.x=135$

Despejamos x

$x=\displaystyle \frac{135}{100}=\frac{27}{20}$

$x=2,666...$

Multiplicamos por 10

$10.x=26,666...$

Restamos la segunda igualdad menos la primera (10.x – x)

$9.x=24$

Despejamos x

$x=\displaystyle \frac{24}{9}=\frac{8}{3}$

$x=1,24444...$

Multiplicamos por 10

$10.x=12,4444...$

Multiplicamos por 100

$100.x=124,4444...$

Restamos las dos igualdades anteriores (100.x – 10.x)

$90.x=112$

Despejamos x

$x=\displaystyle \frac{112}{90}=\frac{56}{45}$

———-…———-

Etiquetas: fracción, número decimal, números, números racionales

19 Dic 2009

Triángulo rectángulo

21:53H

Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto.

Etiquetas: triángulo, triángulo rectángulo

19 Dic 2009

Teorema de Pitágoras

20:25H

El teorema de Pitágoras dice:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, y viceversa.

$a^2=b^2+c^2$

Etiquetas: teorema, teorema de pitágoras, triángulo, triángulo rectángulo

26 Nov 2009

Proporcionalidad y porcentaje: problemas

18:21H

Proporcionalidad

Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?

En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?

Porcentaje

Alejandro compró el Sistema Operativo Wndowa 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?

Si por 3 fotocopias pagué $0,15. ¿Cuánto debo pagar por 25 fotocopias?
En dos horas pude leer 32 páginas del último libro de Harry Potter. Si continuo con el mismo ritmo, ¿cuántas páginas podré leer en 7 horas?
Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?
En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?
Alejandro compró el Sistema Operativo Wndows 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?

17 Nov 2009

Matriz cuadrada

17:12H

Una matriz es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas.

$A_{mxn}$ es cuadrada si $m=n$

Ejemplo:

$A=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right]$

La matriz $A$ es cuadrada de orden 3, es decir, tiene 3 filas y 3 columnas.

17 Nov 2009

Matriz inversa

17:12H

Sea $A$ una matriz cuadrada. Su inversa es la matriz $A^{-1}$ y cumple con la siguiente condición:

$A.A^{-1}=A^{-1}.A=I$

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la matriz $A$

$\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]$

y la multiplicamos por la matriz B:

$B= \displaystyle\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]$

$A.B=\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

$B.A= \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

Por lo tanto la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$ .

Es decir, $B=A^{-1}$

17 Nov 2009

Teorema de Cramer

7:08H

Dado un sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\ \cdots&=&\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.$

Teniendo en cuenta las siguientes matrices.

$A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \cdots\\ b_n \end{array}\right]$

Podemos escribir el sistema en forma matricial.

$A.X=B$

Si la matriz $A$ es regular, podemos encontrar su matriz inversa $A^{-1}$ . Entonces, pre multiplicamos la igualda.

$A^{-1}.A.X=A^{-1}.B$

$I.X=A^{-1}.B$

$X=A^{-1}.B$

———-.———-.———-.———-

16 Nov 2009

Regla de Cramer

17:39H

La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

La matriz de los coeficientes $A$ es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

$\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right\vert$