La introducción de este axioma simplifica enormemente los principios fundamentales de la geometría y facilita no en un grado menor su desarrollo.

Axioma III

En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.

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Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.

Teorema 8:
Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.

El axioma de las paralelas es un axioma plano.

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