Para comenzar a comprender el concepto de derivada de una función en un punto, podemos comenzar con la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Dados los puntos:

A=(x_a,y_a)B=(x_b,y_b)

la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

\displaystyle \frac{y-y_a}{x-x_a}=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}

El número de la parte derecha de la igualdad, es la pendiente de la recta.

Ahora si consideramos que los dos puntos pertenezcan a la función f(x), en la mayoría de los casos la forma anterior nos permite encontrar la ecuación de una recta secante a la función.

Las puntos a considerar serán:

(x_0,f(x_0))

(x_0+h,f(x_0+h))

La pendiente de la recta secante sería entonces:

m=\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Si llamamos:

P=(x_0;f(x_0))

Q=(x_0+h;f(x_0+h))

A medida de h se acerque a 0, la recta secante PQ se acerca a la recta tangente en P y las pendientes de la rectas secantes se acercarían a la pendiente de la recta tangente.

Es decir que con el límite del cociente que me da la pendiente de la recta secante, podemos obtener la pendiente de la recta tangente.

pendiente(tag)=\displaystyle lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

A ese límite lo definimos como la derivada de la función f en el punto x0.

f'(x_0)=\displaystyle lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

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