Analicemos la función f(x) = x^3 – 2x^2

Dominio

Dom f = R

El dominio de la función f(x) son todos los números reales, dado que las operaciones que intervienen se pueden realizar con todos los números reales.

Imagen

Im f = R

La imagen de la función son todos los números reales. La función que estamos analizando es función polionómica de grado 3, o sea una función cúbica.

Raíces

Busquemos las raíces

x^3 – 2x^2 = 0

x^2(x – 2) = 0

(x – 0)(x – 0)(x – 2) = 0

Por lo tanto las raíces son 0 y 2. Recordemos que 0 es una raíz doble.

Ordenada al origen

Veamos el valor de la función en 0.

f(0) = 0

Conjunto de positividad y Conjunto de negatividad

Teniendo las raíces o y 2, el eje x queda dividido en tres intervalos (-∞ ; 0) (0 ; 2) y (2 ; ∞).

Tenemos que analizar el valor de la función en valores de x que pertenezcan a cada intervalo.

f(-2) < 0

f(1) < 0

f(3) > 0

Por lo tanto:

C- = (- ∞ ; 0) y (0 ; 2)

C+ = (2, +∞)

Máximos y mínimos

Derivamos la función f(x):

f´(x) = 3x^2 – 4x

Las raíces de las función derivada son los posibles valores del máximo y del mínimo.

f´(x) = 3x^2 – 4x

3x^2 – 4x = 0

3x(x – 4/3) = 0

Las raíces son 0 y 4/3.

Para analizar cuál es el máximo y cuál es el mínimo debemos encontrar la segunda derivada.

f´´(x) = 6x – 4

f´´(0) = -4 < 0 En 0 hay un máximo

f´´(4/3) = 4 > 0 En 4/3 hay un mínimo

Ahora sabemos en valores hay un máximo y un mínimo pero no sabemos cuánto valen.

f(0) = 0

f(4/3) = -1,18

Hay un máximo en (0 ; 0)

Hay un mínimo en (4/3 ; -1,18)

Intervalo de crecimiento e Intervalo de decrecimiento

Ahora que tenemos la ubicación del máximo y del mínimo podemos encontrar estos intervalos.

El eje x queda dividido en tres intervalos.

Analizando que de el máximo al mínimo hay un decrecimiento tenemos que:

Crecimiento = (-∞ ; 0) (4/3 ; ∞)

Decrecimiento = (0 ; 4/3)

Punto de inflexión

En la raíz de la segunda derivada hay un punto de inflexión, que es el punto del gráfico donde se cambia la concavidad.

f´´(x) = 6x – 4

6x – 4 = 0

La raíz es 2/3. Por lo tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.

Representación gráfica

función

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