Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada por 
Solución ( pdf realizada en Maple 13)
El múltiplo común menor de dos o más números, es el menor de los múltiplos que tienen en común dichos números.
Ejemplo: mcm ( 5, 4, 6)
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, …
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, …
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 56, 60, 66, …
mcm (4, 5, 6) = 60
Cálculo con la factorización
4 = 2.2
5 = 5
6 = 2.3
Recuerden que el múltiplo de un número se obtiene multiplicando a ese número por cualquier otro. Con esa consideración buscamos la factorización del mcm poniendo los factores de todos los números en cuestión, utilizando la menor cantidad de factores posibles.
Empezamos a armar la factorización del mcm poniendo los factores del 4.
mcm = 2.2
Luego tenemos que tener en cuenta la factorización del 5.
mcm =2.2.5
Por último agregamos la factorización del 6. Como la factorización de 6 es 2.3 y en la factorización del mcm ya tenemos 2.2.5, entonces sólo agregaremos un 3 en la misma.
mcm = 2.2.3.5=60
El máximo común divisor entres dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números.
Ejemplo: Cálculo del mcd ( 24, 36).
Haciendo una lista de divisores
Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Los divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12. Por lo tanto mcd ( 24, 36) = 12.
Con la factorización
Factorizamos los números 24 y 36.
24 = 2.2.2.3
36 = 2.2.3.3
El producto que usaremos para encontrar el mcd será 2.2.3 = 12, por lo tanto mcd ( 24, 36) = 2.2.3 = 12
¿Por qué no va un 2 o un 3 más en el producto para el cálculo del mcd ?
Si en el producto tuvieramos 2.2.2 eso significaría que 8, que es igual a 2.2.2, es divisor de ambos números, pero eso es falso, ya que 8 es divisor de 24 y no de 36. También se nota en la factorización de los números que 2.2.2 sólo divide a 24.
Con el algoritmo de Euclides
Para comenzar a usar el algoritmo de Euclides debemos realizar una división entera entre 24 y 36.
36 / 24 = 1 con resto 12
Como el resto de la división no es 12 debemos seguir dividiendo, pero ahora lo hacemos con 24 y el resto que obtuvimos.
24 / 12 = 2 con resto 0
Como el resto es o, terminó el algoritmo y el mcd es el divisor de la última división, o sea 12. Por lo tanto, mcd ( 24, 36) = 12.
Una división es entera cuando el cociente y el resto de la misma son números enteros.
Ejemplo: 13 : 2 = 6 con resto 1
Dividendo -> 13
Divisor -> 2
Cociente -> 6
Resto -> 1
Además:
13 = 2 . 6 + 1
D = d . c + r
En toda división entera el resto es mayor o igual que cero y menor que el divisor.
0 ≤ r < d
Una división entera es exacta cuando el resto de la división es cero.
Ejemplo: 21 : 3 = 7 con resto 0
Además 21 = 3 . 7
Analicemos la función f(x) = x^3 – 2x^2
Dominio
Dom f = R
El dominio de la función f(x) son todos los números reales, dado que las operaciones que intervienen se pueden realizar con todos los números reales.
Imagen
Im f = R
La imagen de la función son todos los números reales. La función que estamos analizando es función polionómica de grado 3, o sea una función cúbica.
Raíces
Busquemos las raíces
x^3 – 2x^2 = 0
x^2(x – 2) = 0
(x – 0)(x – 0)(x – 2) = 0
Por lo tanto las raíces son 0 y 2. Recordemos que 0 es una raíz doble.
Ordenada al origen
Veamos el valor de la función en 0.
f(0) = 0
Conjunto de positividad y Conjunto de negatividad
Teniendo las raíces o y 2, el eje x queda dividido en tres intervalos (-∞ ; 0) (0 ; 2) y (2 ; ∞).
Tenemos que analizar el valor de la función en valores de x que pertenezcan a cada intervalo.
f(-2) < 0
f(1) < 0
f(3) > 0
Por lo tanto:
C- = (- ∞ ; 0) y (0 ; 2)
C+ = (2, +∞)
Máximos y mínimos
Derivamos la función f(x):
f´(x) = 3x^2 – 4x
Las raíces de las función derivada son los posibles valores del máximo y del mínimo.
f´(x) = 3x^2 – 4x
3x^2 – 4x = 0
3x(x – 4/3) = 0
Las raíces son 0 y 4/3.
Para analizar cuál es el máximo y cuál es el mínimo debemos encontrar la segunda derivada.
f´´(x) = 6x – 4
f´´(0) = -4 < 0 En 0 hay un máximo
f´´(4/3) = 4 > 0 En 4/3 hay un mínimo
Ahora sabemos en valores hay un máximo y un mínimo pero no sabemos cuánto valen.
f(0) = 0
f(4/3) = -1,18
Hay un máximo en (0 ; 0)
Hay un mínimo en (4/3 ; -1,18)
Intervalo de crecimiento e Intervalo de decrecimiento
Ahora que tenemos la ubicación del máximo y del mínimo podemos encontrar estos intervalos.
El eje x queda dividido en tres intervalos.
Analizando que de el máximo al mínimo hay un decrecimiento tenemos que:
Crecimiento = (-∞ ; 0) (4/3 ; ∞)
Decrecimiento = (0 ; 4/3)
Punto de inflexión
En la raíz de la segunda derivada hay un punto de inflexión, que es el punto del gráfico donde se cambia la concavidad.
f´´(x) = 6x – 4
6x – 4 = 0
La raíz es 2/3. Por lo tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.
Representación gráfica
