Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función f(x) = 2^x-3 en el punto x=2.

Realizamos el gráfico de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^x-3+from+-1+to+3

Primero hacemos f(2) para averiguar el punto de la gráfica por donde pasa la tangente.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2-3

El punto en cuestión es (2,1)

Ahora tenemos que encontrar la derivada de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=derivative+2^x-3

la función derivada es:

f'(x)=2^x.log(2)

A continuación debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, esa información la otorga la derivada de la función evaluada en  x=2.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2.log(2.)

por lo tanto la pendiente de la recta esta dada por:

f'(2)=2,77

Para averiguar la ecuación de la recta tangente nos falta la ordenada al origen.

Recuerden que sabemos que la recta pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 2,77.

y=ax+b

b=y-ax

b=1-2,77.2

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=1-2.77*2

b= -4,54

Por lo tanto la ecuación de nuestra recta es:

y=2,77x-4,54

y su gráfica es:

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=plot[2^x-3,2.77x-4.54]+from+-0.1+to+3

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