Ángulos inscriptos y ángulos centrales

ago 252009

Teorema:

Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.

geo210 - teorema

Demostración:

La demostración la vamos a dividir en tres partes.

1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.

El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.

Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.

Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:

$alpha+alpha+x=180^{o}$ Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.

$beta+x=180^{o}$ Por ser ángulos adyacentes.

Entonces tenemos que $2.alpha$ y $beta$ son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.

Es decir: $beta=2.alpha$

2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

En el gráfico vemos que $beta=ACD+DCB$

El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: $ACD=2.AOC$

El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: $DCB=2.COB$

En consecuencia:

$beta=ACD+DCB=2.AOC+2.COB=2.(AOC+COB)=2.alpha$

Por lo tanto:

$beta=2.alpha$

3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

En el gráfico observamos:

$beta=ACB=DCB-DCA$

El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: $DCB=2.COB$

El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: $DCA=2.COA$

En consecuencia:

$beta=ACB=DCB-DCA=$

$=2.COB-2.COA=2.(COB-COA)=2.alpha$

Por lo tanto:

$beta=2.alpha$

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