2009 septiembre | roberprof.com

Los naturales en la recta numérica

30 sep

Para representar números naturales en una recta numérica usaremos una recta, puede ser horizontal, elegimos un punto de la misma y marcamos el 0.

Para marcar el 1 elegimos otro punto, por convención generalmente es a la derecha del 0. No importa la distancia entre el 0 y el 1, dependerá de la situación que necesitamos representar.

Pero ahora el 2, el 3, y los otros números naturales, no lo podemos ubicar en cualquier lugar. El 2 va a la derecha del 1, y la distancia entre el 1 y el 2 es igual a la distancia entre 0 y 1. Así sucesivamente vamos repitiendo lo mismo con los otros números naturales.

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Números naturales, recta numérica

Parábola: foco y directriz

24 sep

Publicado por roberprof en 6to Año |

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Encuentren el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación $y^2=-2x$ .

Recordemos la ecuación estándar de la parábola.

$y^2=-4cx$

donde el foco está dado por las coordenadas $(-c,0)$

y la directriz por la ecuación $x=c$

Igualando las ecuaciones encontramos que:

$-4cx=-2x$

$4c=2$

$c=\frac{1}{2}$

Por lo tanto:

las coordenadas del foco son $(-\frac{1}{2},0)$

y la ecuación de la directriz es $x=\frac{1}{2}$

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directriz, foco, Geometría Analítica, parábola

Parábola

24 sep

Publicado por roberprof en 6to Año |

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Representen gráficamente $y^2=-2x$ .

Los puntos de la parábola no pueden tener una abscisa (coordenada x) positiva, dado que los valores de y deberían ser números complejos para satisfacer la igualdad.

Pueden realizar una tabla:

x 0 -2 -2 -4,5 -4,5
y 0 +2 -2 +3 -3

Representen los puntos y la parábola.

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parábola, representación gráfica

Circuncircunferencia

16 sep

Publicado por roberprof en Geometry |

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Se llama circuncircunferencia de un triángulo a la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Al centro de la misma se lo llama circuncentro y al radio circunradio.

Teorema:

La intersección de la mediatrices de un triángulo es el circuncentro.

Demostración:

Si llamamos O a la intersección de las mediatrices del lado AB y del lado BC, tenemos que:

AO=BO y BO=CO

luego AO =CO

esto implica que O está en la mediatriz del lado AC.

Corolario:

Por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia.

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circuncentro, circunradio, puntos notables

Geometría: Ejercitación 2do año

13 sep

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Demostrar que los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes a partir de la siguiente propiedad: “los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes”.
Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, un ángulo interno mide 40°. Dibujen la situación.
Encuentren el centro de la siguiente circunferencia.
Dados los puntos A, B y C. Construyan una circunferencia que pase por los tres puntos. (Ayuda: encuentren el centro de la circunferencia)
Construyan un triángulo rectángulo, ¿dónde se encuentra el ortocentro?
Puede el incentro ser un punto exterior al triángulo, elabore una justificación de su respuesta.
El baricentro de un triángulo coincide con el circuncentro, ¿qué particularidades tiene el triángulo?
Encuentren el valor de x:
a)
b) c)

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ángulos centrales, ángulos inscriptos, ángulos semiinscriptos, cuadriláteros, cuadriláteros cíclicos

Geometría: Ejercitación 1er año

13 sep

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Construyan un triángulo isósceles, que tengan lados congruentes de 5 cm y ángulo entre ellos de 50°.
¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 6cm de lado?
Construyan un triángulo cuyas lados midan 3cm, 5cm y 8cm.
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles?
Dibujen una recta r y un punto P que no pertenezca a la recta. Construyan sólo con regla y compás una paralela a r que pase por P.
Si tengo una recta y ella marcamos dos puntos A y B. ¿Qué objeto geométrico está formado por los puntos que pertenecen a la semirrecta AB y a la semirrecta BA ?
Dibujen dos rectas secantes de tal manera que en los ángulos adyacentes formados uno sea el doble del otro.
Calculen la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que tiene un cateto de 4cm.
Encuentren el valor de x:
a) b) c)
Encuentren el valor de x en el siguiente triángulo isósceles.

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ángulos, ecuaciones con ángulos, Geometría

Geometría Analítica: Ejercicios

11 sep

Publicado por roberprof en 6to Año |

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Rectas en el plano

Encuentren la ecuación de una recta que pasa por el punto (-1,-4) y por el punto de intersección de las rectas:
$-2x+5y-23=0$
y
$x=8-6t$ $y=1+t$
Dado el vector v de origen (2,1) y componentes (2,3). Dibujen 2v, 3v y -v.
¿Qué recta definen? ¿Cuál sería su ecuación?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(-3,1)?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(5,2)?
¿Cuál es la pendiente y el vector dirección de las siguientes rectas?
a) $y=2x-5$
b) $\frac{x-6}{-2}=\frac{y+1}{4}$
c) $2x+3y-2=0$
¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto (-1,4)?
a) x+y-3=0
b) y=4x-1
c) x+y=3
d) $\frac{x}{-1}+\frac{y}{4}=2$
¿Cuánto vale n en la ecuación ax+by=n, sabiendo que las rectas determinadas por la ecuación pasan por el origen?
Escriban la ecuación paramétrica de la recta $3x+2y-1=0$ .
Hallen el punto de intersección de las siguientes rectas:
$x=2+t$ $y=-1+3t$
y
$y=4x-3$
Expresen la ecuación de la siguiente recta en la forma vectorial, paramétrica, general y explícita.
$\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}$
Escriban la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,0) y es paralela a la recta:
a) $(x,y)=(2,-3)+t(2,3)$
b) $y=-3x-5$
Una recta pasa por el origen y por el punto (-5,3), ¿cuál puede ser una de sus ecuaciones vectoriales?
Escriban dos vectores que se encuentren en la recta $3x+2y=0$ .
Hallen la ecuación de la mediatriz al segmento de extremos A=(-2,5) y B=(2,1).
¿Cuáles son la ecuaciones explícitas de las rectas bisectrices a los cuadrantes en un plano coordenado?
¿Qué ángulo forma con el eje positivo de las x, la recta x-2y+1=0?
Un triángulo ABC es equilátero tal que AC=BC=10, el punto A tiene coordenadas (-2,4) y el punto B (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de C?
Escriban las ecuaciones generales y vectoriales de los ejes coordenados.
¿El punto (2,3) es intersección de las rectas x=2 e y=3?
¿Cuál es la distancia del punto (2,3) a la recta 2x-y+3=0?

Cónicas

Escriban la ecuación de una circunferencia de centro C=(-3,5) y radio r=4.
a) Represéntenla gráficamente.
b) Hallen los puntos de intersección con los ejes, analíticamente.
Escriban la ecuación general de la circunferencia de centro C=(1,3) y radio r=2.
Hallen el centro y el radio de la circunferencia:
$x^2+y^2-8x+2y+10=0$
Hallen los puntos de intersección de la circunferencia
$x^2+y^2=4$
con la recta
$y+3x-1=0$
Representen gráficamente la circunferencia y la recta.
Hallen la ecuación de la circunferencia de centro (4,-2) que es tangente a la recta $y=x+2$
Grafiquen y encuentren los elementos principales de la elipse dada por la ecuación
$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$
Escriban la ecuación de la elipse que tiene focos en (2,0) y (-2,0) y uno de sus vértices en (3,0)?
Encuentren los puntos de intersección entre la elipse
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$
y la recta
$x-y-2=$
¿Cuáles son las coordenadas de los focos en la elipse $3x^2+4y^2=12$ ?
Escriban la ecuación de una elipse que tiene focos en (0,2) y (0,-2) y pasa por el punto (3,2).
Grafiquen y encuentren los elementos de la hipérbola dada por la ecuación:
$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
Encuentren la ecuación de la hipérbola del gráfico:
Una hipérbola tiene asíntotas cuyas ecuaciones son $y=\pm 2x$ y vértice en el punto (3,0). Encuentren la ecuación y represéntela gráficamente.
Grafiquen la parábola
a) $y^2=2x$
b) $x^2=-y$
Encuentren foco y directriz en las parábolas del punto anterior.
¿Cuáles serán las coordenadas de foco y la ecuación de la directriz en la parábola dada por la ecuación $y=x^2-1$
¿Qué se obtiene de la intersección de un cono y plano perpendicular el eje del cono?
El cono de la figura tiene ecuación $z^2=x^2+y^2$ su eje es el eje z, y la recta directriz forma un ángulo de 45° con el eje z. (Creado en Maple 13)
¿Qué se obtiene de la intersección del cono anterior con un plano que pase por los ejes x y z?
¿Qué ángulo debe formar un plano con el eje del cono del ejercicio 17 para que la intersección entre el plano y el cono de una parábola? Si ese palno pasa por el vértice del cono, ¿en qué se degenera?
La elipse y la hipérbola tienen dos focos, en la circunferencia los focos coinciden para formar el centro, la parábola tiene un foco.
Si las cónicas fueran un mismo objeto matemático miradas desde puntos de vistas diferentes, ¿dónde está el segundo foco de la parábola?