Una circunferencia es el lugar geométricos de los puntos de un plano que equidistan de un punto llamado centro. A la distancia de los puntos al centro se la llama radio.

Llamemos C=(a,b) a las coordenadas del centro y sea P=(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

La distancia del punto P a C es igual a r (radio). Podemos escribir:

d(P,C)=r

sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 Ecuación de la circunferencia.

  • Observemos que el radio no puede ser negativo, de lo contrario la ecuación no tendía solución real.
  • Si el radio fuera cero, la circunferencia se degeneraría en un punto, el centro. (a,b) sería la única solución de la ecuación.
  • Como todos los pasos para hallar la ecuación son reversibles, podemos decir que todo punto que satisface la ecuación pertenece a la circunferencia.

Ejemplo:

  • Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro (2,-3) y radio 3.
    (x-2)^2+(y+3)^2=9
    circunf
  • ¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia con los ejes coordenados?
    Intersección con el eje y
    x=0
    Reemplazamos el valor de x en la ecuación de la circunferencia.
    (-2)^2+(y+3)^2=9
    (y+3)^2=9-4
    y=-3+sqrt{5} o
    y=-3-sqrt{5}
    Los puntos de intersección con el eje y son:
    (0;-0,76)
    (0;-5,24)
    Intersección con el eje “x”
    y = 0
    Reemplazamos y por 0 en la ecuación de la circunferencia.
    (x-2)^2+(3)^2=9
    (x-2)^2=9-9
    x=2
    El punto de intersección con el eje x es (2,0)
    (2,0)
  • Encontrar la intersección de la circunferencia con la recta y=x-3
    Para encontrar la intersección de la circunferencia con la recta resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta.
    Resolvemos el sistema por sustitución.
    (x-2)^2+(x)^2=9
    x^2-4x+4+x^2-9=0
    2x^2-4x-5=0

    x=frac{4+sqrt{16+40}}{4}=2,87

    o

    x=frac{4-sqrt{16+40}}{4}=-0,87

    Reemplazamos los valores obtenidos de x en la ecuación de la recta.
    y=-0,13
    o
    y=-3,87
    Los puntos de intersección son:
    (2,87;-0,13)
    (-0,87;-3,87)
    circunf 2

Ejercicios:

  1. Escribir la ecuación de una circunferencia con centro en (2,3) y radio 5.
  2. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia anterior con los ejes coordenados.
  3. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,-1) y tiene a los ejes como tangentes a la circunferencia.
  4. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene a los puntos (-2,4) y (2,3) como extremos de un diámetro.
  5. Encontrar los puntos de intersección de (x-4)^2+(y+1)^2=16 y 2x+y-4=0

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