Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de la distancias de los puntos a un par de puntos fijos distintos llamados focos es una constante fija.

Para comenzar pongamos los focos sobre el eje x:

F=(c,0)  F'=(-c,0)

elipse

En el gráfico llamamos A y A’ a la intersección de la parábola con el eje x y B y B’ a la intersección con el eje y.

Según la definición:

d(P,F)+d(P,F')=constante

¿Qué pasa si el punto P coincide con el punto A?

d(P,F)+d(P,F')=d(A,F)+d(A,F')=d(A',F')+d(A,F)=d(A,A')=2a

Por lo tanto:

d(P,F)+d(P,F')=2a

sqrt{(x-c)^2+y^2}+sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a

sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-sqrt{(x+c)^2+y^2}

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

(sqrt{(x-c)^2+y^2})^2=(2a-sqrt{(x+c)^2+y^2})^2

x^2-2xc+c^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2

4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc

sqrt{(x+c)^2+y^2}=frac{4a^2+4xc}{4a}

sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+frac{xc}{a}

Elevando nuevamente al cuadrado ambos mienbros tenemos:

x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+frac{x^2c^2}{a^2}

x^2-frac{c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2

frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2

Dividiendo ambos miembros por a^2-c^2

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{a^2-c^2}=1

¿Qué pasa en la elipse si P coincide con B?

elipse 2Observemos que d(P,F)=d(P,F’) eso nos indica, como la suma de ambas era 2a, que d(P,F)=a.

Es decir, tenemos un triángulo rectángulo con catetos b y c, e hipotenusa a. Por lo tanto:

a^2=b^2+c^2

a^2-c^2=b^2

Reemplazando esta última igualdad en

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{a^2-c^2}=1

obtenemos:

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1

Ecuación estándar de una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas.

Teorema:

Un punto (x,y) está en la elipse con vértice en (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisface la ecuación

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1

donde b^2=a^2-c^2.

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