Hipérbola

6to Año, Geometría Analítica Add comments

sep 082009

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias del punto a un par de puntos fijos llamados focos es igual a una constante.

Si ubicamos los focos en el eje x tenemos

Según la definición

$|d(p,F)-d(P,F')|=constante$

$sqrt{(x-c)^2+y^2}-sqrt{(x+c)^2+y^2}=pm 2a$

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=sqrt{(x+c)^2+y^2}pm 2a$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2 pm 4asqrt{(x+c)^2+y^2}+4a^2$

$pm 4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc$

$pm sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+frac{cx}{a}$

$x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+frac{c^2x^2}{a^2}$

$frac{c^2-a ^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2$

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Como c>a

$c^2-a^2>0$

Llamando

$b^2=c^2-a^2$

tenemos

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$

Observemos que

$c^2=a^2+b^2$

Entonces tiene sentido el siguiente gráfico

El rectángulo en líneas de puntos tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales miden 2c.

Teorema:

Un punto (x,y) están en la hipérbola con vértices (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisfacen la ecuación:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$

donde

$b^2=c^2-a^2$

roberprof.com

Hipérbola

Leave a Reply Cancel reply

Contenido

Anuncios

Contenidos

Enlaces

Herramientas

Tweets

Entradas Populares