Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias del punto a un par de puntos fijos llamados focos es igual a una constante.

Si ubicamos los focos en el eje x tenemos

hipérbola

Según la definición

|d(p,F)-d(P,F')|=constante

sqrt{(x-c)^2+y^2}-sqrt{(x+c)^2+y^2}=pm 2a

sqrt{(x-c)^2+y^2}=sqrt{(x+c)^2+y^2}pm 2a

x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2 pm 4asqrt{(x+c)^2+y^2}+4a^2

pm 4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc

pm sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+frac{cx}{a}

x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+frac{c^2x^2}{a^2}

frac{c^2-a ^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2

frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{c^2-a^2}=1

Como c>a

c^2-a^2>0

Llamando

b^2=c^2-a^2

tenemos

frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1

Observemos que

c^2=a^2+b^2

Entonces tiene sentido el siguiente gráfico

hipérbola 2

El rectángulo en líneas de puntos tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales miden 2c.

Teorema:

Un punto (x,y) están en la hipérbola con vértices (a,0) y (-a,0) y focos  en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisfacen la ecuación:

frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1

donde

b^2=c^2-a^2

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