Archivo de septiembre, 2009

Hipérbola: elementos

8 sep

Publicado por roberprof en 6to Año

4 comentarios

Una hipérbola de ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico:

Sus elementos son:

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Covértices: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje transversal: recta que contiene los focos

$AA'$

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices

$BB'$

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado

$O$

Asíntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez más en los extremos sin tener intersección.

$y=\pm \frac{b}{a}x$

asíntotas, cónicas, hipérbola, vértices

Hipérbola

8 sep

Publicado por roberprof en 6to Año

No hay comentarios

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias del punto a un par de puntos fijos llamados focos es igual a una constante.

Si ubicamos los focos en el eje x tenemos

Según la definición

$|d(p,F)-d(P,F')|=constante$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\pm 2a$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2 \pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+4a^2$

$\pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc$

$\pm \sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\frac{cx}{a}$

$x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{c^2x^2}{a^2}$

$\frac{c^2-a ^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Como c>a

$c^2-a^2>0$

Llamando

$b^2=c^2-a^2$

tenemos

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Observemos que

$c^2=a^2+b^2$

Entonces tiene sentido el siguiente gráfico

El rectángulo en líneas de puntos tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales miden 2c.

Teorema:

Un punto (x,y) están en la hipérbola con vértices (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisfacen la ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

donde

$b^2=c^2-a^2$

cónicas, ecuación de la hipérbola, hipérbola

Elipses: representaciones gráficas

8 sep

Publicado por roberprof en 6to Año

1 comentario

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

$a=\sqrt{25}=5$

$b=\sqrt{16}=4$

Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

Por lo tanto la coordenadas de los focos son

$F(3,0)$ $F'(-3,0)$

Los vértices y los covértices tienen las siguientes coordenadas

$A(5,0)$ $A'(-5,0)$ $B(0,4)$ $B'(0,-4)$

El gráfico sería:

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{10}=1$

De la gráfica obtenemos que

$a=\sqrt{4}=2$

$b=\sqrt{10}=3,1$

Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema

$c=\sqrt{4-10}=\sqrt{-6}$

El valor de c no es un número real.

El error surje debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el eje y, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámentro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos.

Como solucionamos nuestras cuentas, haciendo un cambio entre a y b. La ecuación que tendremos en cuenta será:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Entonces tenemos:

$a=\sqrt{10}=3,1$

$b=\sqrt{4}=2$

y la distancia focal será

$c=\sqrt{10-4}=\sqrt{6}=2,4$

Ahora hay que tener cuidado con las coordenadas:

Vértices:

$A(0;3,1)$ $A'(0;-3,1)$

Covértices:

$B(2,0)$ $B'(-2,0)$

Focos:

$F(0;2,4)$ $F'(0;-2,4)$

El gráfico sería:

elipses, Geometría Analítica, representaciones gráficas

Elipse: elementos

8 sep

Publicado por roberprof en 6to Año

13 comentarios

Una elipse con ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=\sqrt{a^2-b^2}$

directriz, elipse, foco, Geometría Analítica

Elipse

8 sep

Publicado por roberprof en 6to Año

1 comentario

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de la distancias de los puntos a un par de puntos fijos distintos llamados focos es una constante fija.

Para comenzar pongamos los focos sobre el eje x:

$F=(c,0)$ $F'=(-c,0)$