2009 septiembre | roberprof.com

Hipérbola: elementos

6to Año, Geometría Analítica 3 Responses »

sep 082009

Una hipérbola de ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico:

Sus elementos son:

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Covértices: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje transversal: recta que contiene los focos

$AA'$

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices

$BB'$

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado

$O$

Asíntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez más en los extremos sin tener intersección.

$y=\pm \frac{b}{a}x$

Hipérbola

6to Año, Geometría Analítica No Responses »

sep 082009

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias del punto a un par de puntos fijos llamados focos es igual a una constante.

Si ubicamos los focos en el eje x tenemos

Según la definición

$|d(p,F)-d(P,F')|=constante$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\pm 2a$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2 \pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+4a^2$

$\pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc$

$\pm \sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\frac{cx}{a}$

$x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{c^2x^2}{a^2}$

$\frac{c^2-a ^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Como c>a

$c^2-a^2>0$

Llamando

$b^2=c^2-a^2$

tenemos

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Observemos que

$c^2=a^2+b^2$

Entonces tiene sentido el siguiente gráfico

El rectángulo en líneas de puntos tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales miden 2c.

Teorema:

Un punto (x,y) están en la hipérbola con vértices (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisfacen la ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

donde

$b^2=c^2-a^2$

Elipses: representaciones gráficas

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 082009

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

$a=\sqrt{25}=5$

$b=\sqrt{16}=4$

Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

Por lo tanto la coordenadas de los focos son

$F(3,0)$ $F'(-3,0)$

Los vértices y los covértices tienen las siguientes coordenadas

$A(5,0)$ $A'(-5,0)$ $B(0,4)$ $B'(0,-4)$

El gráfico sería:

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{10}=1$

De la gráfica obtenemos que

$a=\sqrt{4}=2$

$b=\sqrt{10}=3,1$

Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema

$c=\sqrt{4-10}=\sqrt{-6}$

El valor de c no es un número real.

El error surje debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el eje y, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámentro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos.

Como solucionamos nuestras cuentas, haciendo un cambio entre a y b. La ecuación que tendremos en cuenta será:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Entonces tenemos:

$a=\sqrt{10}=3,1$

$b=\sqrt{4}=2$

y la distancia focal será

$c=\sqrt{10-4}=\sqrt{6}=2,4$

Ahora hay que tener cuidado con las coordenadas:

Vértices:

$A(0;3,1)$ $A'(0;-3,1)$

Covértices:

$B(2,0)$ $B'(-2,0)$

Focos:

$F(0;2,4)$ $F'(0;-2,4)$

El gráfico sería:

Elipse: elementos

6to Año, Geometría Analítica 12 Responses »

sep 082009

Una elipse con ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Elipse

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 082009

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de la distancias de los puntos a un par de puntos fijos distintos llamados focos es una constante fija.

Para comenzar pongamos los focos sobre el eje x:

$F=(c,0)$ $F'=(-c,0)$