Parábola: ecuación

 6to Año, Geometría Analítica  3 Responses »
sep 072009
 

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz, que no contiene al foco.

Imaginemos el foco en el punto (0,c) y la directriz dada por la ecuación x=-c

parábolaDe acuerdo con la definición

\overline{PF}=\overline{PD}

\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+(y-y)^2}

(x-c)^2+y^2=(x+c)^2

x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2

y^2=4xc Ecuación de la parábola

Si un punto se encuentra sobre la parábola de foco (c,0) y directriz x=-c debe satisfacer la ecuación anterior. Además, como todos los pasos son reversibles podemos afirmar que cualquier punto que satisface la ecuación anterior se encuentra sobre la parábola.

Con un idéntico razonamiento:

  • Los puntos de una parábola de foco (-c,0) y directriz x=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
    y^2=-4xc
    parábola 4
  • Los puntos de una parábola de foco (o,c) y directriz y=-c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
    x^2=4yc
    parábola 2
  • Los puntos de una parábola de foco (o,-c) y directriz y=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
    x^2=-4yc
    parábola 3
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Circunferencia

 6to Año, Geometría Analítica  1 Response »
sep 052009
 

Una circunferencia es el lugar geométricos de los puntos de un plano que equidistan de un punto llamado centro. A la distancia de los puntos al centro se la llama radio.

Llamemos C=(a,b) a las coordenadas del centro y sea P=(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

La distancia del punto P a C es igual a r (radio). Podemos escribir:

d(P,C)=r

\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 Ecuación de la circunferencia.

  • Observemos que el radio no puede ser negativo, de lo contrario la ecuación no tendía solución real.
  • Si el radio fuera cero, la circunferencia se degeneraría en un punto, el centro. (a,b) sería la única solución de la ecuación.
  • Como todos los pasos para hallar la ecuación son reversibles, podemos decir que todo punto que satisface la ecuación pertenece a la circunferencia.

Ejemplo:

  • Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro (2,-3) y radio 3.
    (x-2)^2+(y+3)^2=9
    circunf
  • ¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia con los ejes coordenados?
    Intersección con el eje y
    x=0
    Reemplazamos el valor de x en la ecuación de la circunferencia.
    (-2)^2+(y+3)^2=9
    (y+3)^2=9-4
    y=-3+\sqrt{5} o
    y=-3-\sqrt{5}
    Los puntos de intersección con el eje y son:
    (0;-0,76)
    (0;-5,24)
    Intersección con el eje “x”
    y = 0
    Reemplazamos y por 0 en la ecuación de la circunferencia.
    (x-2)^2+(3)^2=9
    (x-2)^2=9-9
    x=2
    El punto de intersección con el eje x es (2,0)
    (2,0)
  • Encontrar la intersección de la circunferencia con la recta y=x-3
    Para encontrar la intersección de la circunferencia con la recta resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta.
    Resolvemos el sistema por sustitución.
    (x-2)^2+(x)^2=9
    x^2-4x+4+x^2-9=0
    2x^2-4x-5=0

    x=\frac{4+\sqrt{16+40}}{4}=2,87

    o

    x=\frac{4-\sqrt{16+40}}{4}=-0,87

    Reemplazamos los valores obtenidos de x en la ecuación de la recta.
    y=-0,13
    o
    y=-3,87
    Los puntos de intersección son:
    (2,87;-0,13)
    (-0,87;-3,87)
    circunf 2

Ejercicios:

  1. Escribir la ecuación de una circunferencia con centro en (2,3) y radio 5.
  2. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia anterior con los ejes coordenados.
  3. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,-1) y tiene a los ejes como tangentes a la circunferencia.
  4. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene a los puntos (-2,4) y (2,3) como extremos de un diámetro.
  5. Encontrar los puntos de intersección de (x-4)^2+(y+1)^2=16 y 2x+y-4=0

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Cilindro hidráulico con Geogebra

 Geogebra, Mecanismos  20 Responses »
sep 032009
 

Bajen el programa Geogebra haciendo clic aquí.

Pasos para la construcción del cilindro hidráulico :

  1. Hagan clic en Vista,  dejen Cuadrícula y oculten Ejes.
  2. Muevan la ruedita del mouse para que el cuadriculado no sea muy grande.
  3. Hagan un segmento AB sobre una línea horizontal. AB = 6
  4. A la izquierda, en la vista algebraica, van a ver dos objetos libres (A y B) y un objeto dependiente (el segmento a). Si no cambiaron los nombres, estos los pone el programa por defecto.
  5. Hagan una circunferencia con centro en A y radio 5.
  6. Hagan un deslizador con un intervalo de 3 a 6. Si no cambiaron los nombres el deslizador se llamará b.
  7. Hagan una circunferencia con centro en B y radio b. (El deslizador será quién nos dé el radio de esa circunferencia)
  8. Marquen el punto de intersección de las circunferencias por arriba del segmento AB, por defecto el programara llamará C a este punto.
  9. Construyan una semirrecta de origen A que pase por C. (Se llamará e)
  10. Construyan un segmento de extremos B y C. (Se llamará f)
  11. Construyan una circunferencia de centro B y radio 3.
  12. Marquen el punto de intersección de la circunferencia anterior con el segmento BC. (Se llamará D)
  13. Oculten todas las circunferencias.
  14. Construyan el segmento BD. (Se llamará h)
  15. Hagan clic con el botón derecho sobre h y cambiar sus propiedades, de tal manera que parezca un cilindro.
  16. Oculten los nombres de los objetos construídos.
  17. Haciendo clic con el botón derecho sobre los deslizadores pueden dar animación al cilindro hidráulico.

 Posted by roberprof at 17:33  Tagged with: ,

¿Por qué? Justificaciones para todo.

 1er Año, Geometría  39 Responses »
sep 032009
 

Tenemos las siguientes inquietudes.

  1. ¿Puede un triángulo tener dos ángulos rectos? ¿Por qué?
  2. ¿Pueden dos rectas secantes ser paralelas? ¿Por qué?
  3. ¿Es posible que un triángulo isósceles tenga un ángulo de 170°? ¿Por qué?
  4. a es perpendicular a b y b es perpendicular a c, entonces, a es perpendicular a c. ¿Es cierto? ¿Por qué?
  5. Los ángulos de un triángulo miden 40°, 50° y 90°. Los ángulos de otro triángulo miden 40°, 50° y 90°. ¿Son congruentes los triángulos? ¿Por qué?
  6. Dos ángulos adyacentes son congruentes, ¿cuánto mide la amplitud de cada uno de ellos? ¿Por qué?
  7. Un triángulo equilátero, ¿es isósceles? ¿Por qué?
  8. En un triángulo sus lados miden, 3cm, 1cm, 5cm. ¿Es posible?¿Por qué?

Dejen sus justificaciones como comentarios.


 Posted by roberprof at 16:37  Tagged with: ,

Propiedades del triángulo isósceles

 2do Año, Geometría  5 Responses »
sep 032009
 

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Teorema: En un triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son congruentes.

a = b \Rightarrow \alpha = \beta

Demostración:

Para demostrar este teorema vamos a utilizar el criterio de congruencia LLL.
Marcamos el punto medio del lado AB y lo llamamos D.

geo261 - triáng isosLos triángulos ADC y BDC tienen todos sus lados congruentes, por el criterio LLL, los triángulos son congruentes lo que implica que los ángulos DAC y DBC son congruentes.

Teorema: En todo triángulo isósceles la altura y la mediana de la base coinciden.

Demostración: Utilizando el razonamiento de la demostración anterior, los ángulos ADC y BDC son congruentes y adyacentes a la vez. Por lo tanto, son ángulos rectos. En conclusión, el segmento CD es una mediana y una altura del lado AB.

Teorema: La bisectriz del ángulo opuesto a la base, divide a ésta en dos partes iguales.

Demostración: Utilizando otra vez, el razonamiento anterior, los ángulos ACD y BCD son congruentes, por lo tanto, la bisectriz que pasa por el segmento CD divide al lado AB en dos partes iguales, ya que pasa por su punto medio.

–.–

 Posted by roberprof at 08:11  Tagged with: , , ,
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