Fracción irreducible

 1er Año, Fracciones  No Responses »
oct 222009
 

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más.

  • \displaystyle \frac{2}{3}  es una fracción irreducible, 2 y 3 tiene al 1 como único divisor común (son coprimos).
  • \displaystyle \frac{60}{88}  no es irreducible, 60 y 88 pueden dividirse por ejemplo por 2 o 4.

Para encontrar la fracción equivalente e irreducible debemos simplificarla lo máximo posible.

\displaystyle \frac{60}{88}=\frac{30}{44}=\frac{15}{22}

Otra forma de encontrar la fracción irreducible puede ser encontrando la factorización del numerador y el denominador.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

88 = 2 . 2 . 2 . 11

Eliminando los factores comunes:

2 . 2 . 3 . 5 = 15

2 . 2 . 2 . 11 = 22

Por lo tanto:

\displaystyle \frac{60}{88}=\frac{15}{22}

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Suma de fracciones

 1er Año, Fracciones  1 Response »
oct 212009
 

Vamos a sumar dos fracciones con distinto denominador.

Supongamos que tenemos dos jarras de un litro cada una, una con un medio litro de jugo y la otra con un tercio litro de jugo. Si juntamos el jugo en una sola jarra, ¿qué cantidad de jugo tendremos?

\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=?

suma

Observemos que:

\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{3}{6}

\displaystyle\frac{1}{3}=\frac{2}{6}

Por lo tanto:

\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}

Respondiendo al pregunta inicial podemos decir que si juntamos el jugo de las dos jarras tenemos \frac{5}{6} litros de jugo.

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Sistemas de ecuaciones – Ejercitación

 6to Año, Álgebra Lineal  No Responses »
oct 212009
 

1 – Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución y por determinantes.

\left\{\begin{array}{c}x+2y=4\\3x=4y-3\end{array}\right.

2 – Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss, por determinantes y por el método del pivote.

\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-z&=&-3\\4x-y+z&=&25\\x-y+3z&=&14\end{array}\right.

3 – Resuelvan el siguiente sistema por el método del pivote o el método de Gauss.

\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-3z+w&=&-9\\2x+y+z-w&=&8\\-x+y+2z+w&=&-4\\x-3y-z+2w&=&9\end{array}\right.

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Método de determinantes

 6to Año, Álgebra Lineal  4 Responses »
oct 192009
 

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x,y)

\left\{\begin{array}{c}ax+by=r\\cx+dy=s\end{array}\right.

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

adx+bdy=rd

bcx+bdy=bs

restando ambas ecuaciones tenemos

(ad-bc)x=rd-bs

\displaystyle x=\frac{rd-bs}{ad-bc}

Ahora eliminemos la variable x

acx+bcy=br

acx+ady=as

restando ambas ecuaciones

(bc-ad)y=rb-as

\displaystyle x=\frac{br-as}{bc-ad}

Multiplicando por -1 numerador y denominador

\displaystyle x=\frac{as-br}{ad-bc}

Llamando determinante a la siguiente expresión

\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}x_1 & x_2 \\x_3 & x_4\end{array}\right\vert=x_1.x_4-x_2.x_3

tenemos que:

x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}r & b \\s& d\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}

y

y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}a & r \\c& s\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}

Ejemplo:

\left\{\begin{array}{ccc}2x+y&=&1\\x-y&=&2\end{array}\right.

Determinante principal

\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right\vert=2.(-1)-1.1=-3

Determinante de x

\Delta x=\left\vert\begin{array}{cc}1&1\\2&-1\end{array}\right\vert=1.(-1)-1.2=-3

Determinante de y

\Delta y=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right\vert=2.2-1.1=3

Finalmente

\displaystyle x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{-3}{-3}=1

\displaystyle y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{3}{-3}=-1

$\left\{
\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & \ldots \\
x_3 & x_4 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right.$

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Solución de una ecuación lineal

 6to Año, Álgebra Lineal  No Responses »
oct 182009
 

Decimos que el conjunto de números reales

b_1,b_2,\dots,b_n

es una solución de la ecuación

\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.x_i}=c

si se verifica que

\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.b_i}=c

Ejemplo:

Una solución de la ecuación 2x+3y-z=1

x=1  y=-1  z=-2

dado que

2.(1)+3.(-1)-(-2)=1

también escribimos la solución como un conjunto ordenado de números (1,-1,-2)

Observemos las siguientes ecuaciones:

  • \boxed{2x=2}

Tiene solución x=1. En este caso se dice que el sistema formado por la ecuación es compatible determinado. Esto sucede cuando el conjunto solución es finito, es decir, que existe una cantidad determinada de soluciones.

  • \boxed{0x=0}

En esta ecuación cualquier valor de x, hace que se verifique la igualdad. Existen infinitas soluciones, se dice que el sistema es compatible indeterminado. Existe solución, el único problema es que no pueden determinarse, porque son infinitas.

  • \boxed{0x=2}

No existe valor alguno de x que verifique la ecuación, es decir, no hay soluciones. El sistema de llama incompatible.

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