Archivo de octubre, 2009


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más.

  • \displaystyle \frac{2}{3}  es una fracción irreducible, 2 y 3 tiene al 1 como único divisor común (son coprimos).
  • \displaystyle \frac{60}{88}  no es irreducible, 60 y 88 pueden dividirse por ejemplo por 2 o 4.

Para encontrar la fracción equivalente e irreducible debemos simplificarla lo máximo posible.

\displaystyle \frac{60}{88}=\frac{30}{44}=\frac{15}{22}

Otra forma de encontrar la fracción irreducible puede ser encontrando la factorización del numerador y el denominador.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

88 = 2 . 2 . 2 . 11

Eliminando los factores comunes:

22 . 3 . 5 = 15

2 . 2 . 2 . 11 = 22

Por lo tanto:

\displaystyle \frac{60}{88}=\frac{15}{22}

———-…———-

Número de Visitas: 13104


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
suma

Suma de fracciones

Vamos a sumar dos fracciones con distinto denominador.

Supongamos que tenemos dos jarras de un litro cada una, una con un medio litro de jugo y la otra con un tercio litro de jugo. Si juntamos el jugo en una sola jarra, ¿qué cantidad de jugo tendremos?

\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=?

suma

Observemos que:

\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{3}{6}

\displaystyle\frac{1}{3}=\frac{2}{6}

Por lo tanto:

\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}

Respondiendo al pregunta inicial podemos decir que si juntamos el jugo de las dos jarras tenemos \frac{5}{6} litros de jugo.

———-…———-

Número de Visitas: 1598


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Método de determinantes

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x,y)

\left\{\begin{array}{c}ax+by=r\\cx+dy=s\end{array}\right.

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

adx+bdy=rd

bcx+bdy=bs

restando ambas ecuaciones tenemos

(ad-bc)x=rd-bs

\displaystyle x=\frac{rd-bs}{ad-bc}

Ahora eliminemos la variable x

acx+bcy=br

acx+ady=as

restando ambas ecuaciones

(bc-ad)y=rb-as

\displaystyle x=\frac{br-as}{bc-ad}

Multiplicando por -1 numerador y denominador

\displaystyle x=\frac{as-br}{ad-bc}

Llamando determinante a la siguiente expresión

\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}x_1 & x_2 \\x_3 & x_4\end{array}\right\vert=x_1.x_4-x_2.x_3

tenemos que:

x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}r & b \\s& d\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}

y

y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}a & r \\c& s\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}

Ejemplo:

\left\{\begin{array}{ccc}2x+y&=&1\\x-y&=&2\end{array}\right.

Determinante principal

\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right\vert=2.(-1)-1.1=-3

Determinante de x

\Delta x=\left\vert\begin{array}{cc}1&1\\2&-1\end{array}\right\vert=1.(-1)-1.2=-3

Determinante de y

\Delta y=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right\vert=2.2-1.1=3

Finalmente

\displaystyle x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{-3}{-3}=1

\displaystyle y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{3}{-3}=-1

$\left\{
\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & \ldots \\
x_3 & x_4 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\right.$

———-…———–

Número de Visitas: 26025

Solución de una ecuación lineal

Decimos que el conjunto de números reales

b_1,b_2,\dots,b_n

es una solución de la ecuación

\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.x_i}=c

si se verifica que

\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.b_i}=c

Ejemplo:

Una solución de la ecuación 2x+3y-z=1

x=1  y=-1  z=-2

dado que

2.(1)+3.(-1)-(-2)=1

también escribimos la solución como un conjunto ordenado de números (1,-1,-2)

Observemos las siguientes ecuaciones:

  • \boxed{2x=2}

Tiene solución x=1. En este caso se dice que el sistema formado por la ecuación es compatible determinado. Esto sucede cuando el conjunto solución es finito, es decir, que existe una cantidad determinada de soluciones.

  • \boxed{0x=0}

En esta ecuación cualquier valor de x, hace que se verifique la igualdad. Existen infinitas soluciones, se dice que el sistema es compatible indeterminado. Existe solución, el único problema es que no pueden determinarse, porque son infinitas.

  • \boxed{0x=2}

No existe valor alguno de x que verifique la ecuación, es decir, no hay soluciones. El sistema de llama incompatible.

_______________ _______________

Número de Visitas: 1298


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
Fracciones

Fracción

Una fracción es el cociente entre dos números enteros.

\displaystyle \frac{a}{b}

a y b son los números enteros y b ≠ 0.

También podemos utilizar otras expresiones para representar una fracción:

a/b

a:b

El número entero a recibe el nombre de numerador y b recibe el nombre de denominador.

Ejemplos:

\frac{2}{5}

Dos quintos de un rectángulo (que podría ser una cartulina, un chocolate, una hoja …)

Fracciones

Dos quintos de un círculo (que podría ser una torta, un disco …)

Fracciones 01

Dos quintos de los círculos son rojos, dos círculos son rojos en un total de cinco círculos.

Fracciones 02

Número de Visitas: 3715


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
recta 01

Sistema de coordenadas cartesianas

En la recta, podemos definir un sistema de coordenadas para poder determinar la ubicación de puntos en la misma, para ello debemos establecer el cero (origen del sistema de coordenadas) y la unidad correspondiente.

recta 01

Una vez establecida la unidad a cada punto de corresponde un número y viceversa.

En la siguiente recta el punto A tiene coordenada 3.

recta 02

En el plano, para definir un sistema de coordenadas cartesianas necesitamos dos ejes ortogonales (rectas perpendiculares) con la misma escala. Al punto de intersección de los ejes lo llamaremos origen del sistema de coordenadas. Al eje horizontal lo llamamos eje “x” o eje de las abscisas y al eje vertical lo llamamos eje “y” o eje de las ordenadas.

plano 01

Para determinar la ubicación de un punto en el plano debemos trazar segmentos perpendiculares desde el punto a los ejes. Como en el siguiente ejemplo:

plano 02Observemos que en el eje x el extremo del segmento coincide con 2 y en el eje y el extremo del segmento coincide con 3. Decimos que 2 y 3 son las coordenadas del punto P en el sistema de ejes cartesianos establecido, 2 recibe el nombre de abscisa del punto P y 3 recibe el nombre de ordenada del punto P. Por convención siempre se indica la coordenada horizontal y después la vertical, para ello, pondremos las coordenadas entre paréntesis.

Finalmente decimos que P tiene coordenadas (2,3).

El origen del sistema de coordenadas cartesianas en el plano tiene coordenadas (0,0).

plano 03

———-…———-

Número de Visitas: 5527