Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x,y)

left{begin{array}{c}ax+by=r\cx+dy=send{array}right.

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

adx+bdy=rd

bcx+bdy=bs

restando ambas ecuaciones tenemos

(ad-bc)x=rd-bs

displaystyle x=frac{rd-bs}{ad-bc}

Ahora eliminemos la variable x

acx+bcy=br

acx+ady=as

restando ambas ecuaciones

(bc-ad)y=rb-as

displaystyle x=frac{br-as}{bc-ad}

Multiplicando por -1 numerador y denominador

displaystyle x=frac{as-br}{ad-bc}

Llamando determinante a la siguiente expresión

Delta=leftvertbegin{array}{cc}x_1 & x_2 \x_3 & x_4end{array}rightvert=x_1.x_4-x_2.x_3

tenemos que:

x=frac{Delta x}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}r & b \s& dend{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}

y

[latex]y=frac{Delta y}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}a & r \c& send{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}[/latex]

Ejemplo:

left{begin{array}{ccc}2x+y&=&1\x-y&=&2end{array}right.

Determinante principal

Delta=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&-1end{array}rightvert=2.(-1)-1.1=-3

Determinante de x

Delta x=leftvertbegin{array}{cc}1&1\2&-1end{array}rightvert=1.(-1)-1.2=-3

Determinante de y

Delta y=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&2end{array}rightvert=2.2-1.1=3

Finalmente

displaystyle x=frac{Delta x}{Delta}=frac{-3}{-3}=1

displaystyle y=frac{Delta y}{Delta}=frac{3}{-3}=-1

$left{
begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & ldots \
x_3 & x_4 & ldots \
vdots & vdots & ddots
end{array}
right.$

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