Archivo de noviembre, 2009


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fotocopias

Proporcionalidad y porcentaje: problemas

Proporcionalidad
Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?
En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?
Porcentaje
Alejandro compró el Sistema Operativo Wndowa 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?
  • Si por 3 fotocopias pagué $0,15. ¿Cuánto debo pagar por 25 fotocopias?

    Fuente
  • En dos horas pude leer 32 páginas del último libro de Harry Potter. Si continuo con el mismo ritmo, ¿cuántas páginas podré leer en 7 horas?
  • Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?
  • En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?
  • Alejandro compró el Sistema Operativo Wndows 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas iguales, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?

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matriz_cuadrada

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas.

A_{mxn} es cuadrada si m=n

Ejemplo:

A=\left[\begin{array}{ccc}<br />
1&2&3\\<br />
4&5&6\\<br />
7&8&9<br />
\end{array}\right]

La matriz A es cuadrada de orden 3, es decir, tiene 3 filas y 3 columnas.

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Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada. Su inversa es la matriz A^{-1} y cumple con la siguiente condición:

A.A^{-1}=A^{-1}.A=I

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la matriz A

\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right]

y la multiplicamos por la matriz B:

B= \displaystyle\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right]

A.B=\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right].<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right]=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&0\\<br />
0&1<br />
\end{array}\right]

B.A=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right].<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right]<br />
=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&0\\<br />
0&1<br />
\end{array}\right]

Por lo tanto la matriz B es la inversa de la matriz A.

Es decir, B=A^{-1}

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Teorema de Cramer

Dado un sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\<br />
\cdots&=&\cdots\\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m<br />
\end{array}\right.

Teniendo en cuenta las siguientes matrices.

A=\left[\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\<br />
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}<br />
\end{array}\right]

X=\left[\begin{array}{c}<br />
x_1\\<br />
x_2\\<br />
\cdots\\<br />
x_n<br />
\end{array}\right]

B=\left[\begin{array}{c}<br />
b_1\\<br />
b_2\\<br />
\cdots\\<br />
b_n<br />
\end{array}\right]

Podemos escribir el sistema en forma matricial.

A.X=B

Si la matriz A es regular, podemos encontrar su matriz inversa A^{-1}. Entonces, pre multiplicamos la igualda.

A^{-1}.A.X=A^{-1}.B

I.X=A^{-1}.B

X=A^{-1}.B

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Regla de Cramer

La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\<br />
\cdots&=&\cdots\\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m<br />
\end{array}\right.

La matriz de los coeficientes A es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\<br />
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}<br />
\end{array}\right\vert

La solución del sistema es:

x_1=\displaystyle\frac{\Delta x_1}{\Delta}

x_2=\displaystyle\frac{\Delta x_2}{\Delta}

\cdots

x_n=\displaystyle\frac{\Delta x_n}{\Delta}

donde \Delta x_j es el determinante de la matriz que se obtiene de intercambiar la columna j por la columna de los resultados.

Ejemplo:

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
2x+y-3z&=&1\\<br />
-x+5y+z&=&4\\<br />
3x-2y-4z&=&-1<br />
\end{array}\right.

\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\\<br />
-1&5&1\\<br />
3&-2&-4<br />
\end{array}\right\vert=-4

\Delta_x=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
1&1&-3\\<br />
4&5&1\\<br />
-1&-2&-4<br />
\end{array}\right\vert=-12

\Delta _y=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\\<br />
-1&4&1\\<br />
3&-1&-4<br />
\end{array}\right\vert=-4

\Delta_z=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&1\\<br />
-1&5&4\\<br />
3&-2&-1<br />
\end{array}\right\vert=-8

Por lo tanto:

x=\displaystyle\frac{-12}{-4}=3

y=\displaystyle\frac{-4}{-4}=1

z=\displaystyle\frac{-8}{-4}=2

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Razón

En muchas ocasiones necesitamos comparar dos cantidades, una forma de realizar dicha comparación puede ser por medio del cociente entre esos dos números.

Si las cantidades a comparar fueran a y b, ese cociente lo podemos escribir de dos maneras:

a:b o lo que es lo mismo \displaystyle\frac{a}{b}.

Realicemos las siguientes comparaciones:

  • En esta ciudad hay 2 automóviles cada cinco personas.
    \displaystyle\frac{2}{5}
  • 24 alumnos de un curso de 30, aprobaron el examen de matemática.
    \displaystyle\frac{24}{30}
  • Por cada 10 Km de un ruta, 2,5 Km están en mal estado.
    \displaystyle\frac{2,5}{10}
  • El 16% de las mujeres nacen rubias.
    \displaystyle\frac{16}{100}

Otra forma de realizar las comparaciones anteriores pueden ser por expresiones equivalentes: otras fracciones, otros cocientes o números decimales.

  • \displaystyle\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}=0,4=0,40
  • \displaystyle\frac{24}{30}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8=0,80
  • \displaystyle\frac{2,5}{10}=\frac{25}{100}=\frac{250}{1000}=\frac{1}{4}=0,25
  • \displaystyle\frac{16}{100}=\frac{4}{25}=0,16

Razón:

Una razón es el cociente entre dos cantidades.

Una razón entre los números \bold{a} y \bold{b} (b\neq 0), es el cociente de la división entre a y b.

\displaystyle\frac{a}{b}

o

a:b

En este contexto es dividendo \bold{a} recibe el nombre de antecedente y el divisor \bold{b} se llama consecuente.

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Matrices

Una matriz de orden nxm es una ordenación de números en m filas y n columnas.

Por ejemplo la matriz A es de orden 2 x 3

A_{2x3}=\left [\begin{array}{ccc}-2 & 3&0\\4&1&2\end{array}\right ]

La fila 1 es [-2 \ 3 \ 0]

La columna 3 es A\left [\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right ]

El elemento a_{12} es aquel que se encuentra en la primer fila y segunda columna.

Por lo tanto a_{12}=3.

Podemos escribir simbólicamente:

A=(a_{ij})_{mxn}=\left [\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\dots&\dots&\dots&\dots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}\right ]

donde a_{ij}\in\mathbb{R}

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Fracciones y decimales

Expresen los siguientes números decimales como fracciones:

  • a)  1,3333\dots
  • b)  4,25
  • c)  3,45555\dots

Ejemplo:

Pasar a fracción la expresión decimal 2,5555\dots

10x=25,5555\dots

x=2,5555\dots

10x-x=25,5555\dots-2,5555\dots

9x=23

x=\displaystyle\frac{23}{9}

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