Archivo de Noviembre, 2009

Proporcionalidad y porcentaje: problemas

26 Nov

Proporcionalidad

Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?

En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?

Porcentaje

Alejandro compró el Sistema Operativo Wndowa 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?

Si por 3 fotocopias pagué $0,15. ¿Cuánto debo pagar por 25 fotocopias?

Fuente
En dos horas pude leer 32 páginas del último libro de Harry Potter. Si continuo con el mismo ritmo, ¿cuántas páginas podré leer en 7 horas?
Para un colegio de 340 alumnos donaron 10000 hojas rayadas. En 1er año hay 62 alumnos, ¿cuántas hojas le corresponde a 1er año si el reparto es equitativo?
En un ruta nacional cada 980 metros hay 15 postes de iluminación. Si la ruta tiene una longitud de 65 kilómetros, ¿cuántos postes de iluminación hay?
Alejandro compró el Sistema Operativo Wndows 7 a $980, pero como pagó con tarjeta de crédito en 12 cuotas iguales, le hicieron un recargo del 9%. ¿Cuánto cuesta cada cuota?

Matriz cuadrada

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

No hay comentarios

Una matriz es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas.

$A_{mxn}$ es cuadrada si $m=n$

Ejemplo:

$A=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right]$

La matriz $A$ es cuadrada de orden 3, es decir, tiene 3 filas y 3 columnas.

Matriz inversa

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

1 comentario

Sea $A$ una matriz cuadrada. Su inversa es la matriz $A^{-1}$ y cumple con la siguiente condición:

$A.A^{-1}=A^{-1}.A=I$

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la matriz $A$

$\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]$

y la multiplicamos por la matriz B:

$B= \displaystyle\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]$

$A.B=\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

$B.A= \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

Por lo tanto la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$ .

Es decir, $B=A^{-1}$

Teorema de Cramer

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

No hay comentarios

Dado un sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\ \cdots&=&\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.$

Teniendo en cuenta las siguientes matrices.

$A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \cdots\\ b_n \end{array}\right]$

Podemos escribir el sistema en forma matricial.

$A.X=B$

Si la matriz $A$ es regular, podemos encontrar su matriz inversa $A^{-1}$ . Entonces, pre multiplicamos la igualda.

$A^{-1}.A.X=A^{-1}.B$

$I.X=A^{-1}.B$

$X=A^{-1}.B$

———-.———-.———-.———-

Regla de Cramer

16 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

3 comentarios

La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

La matriz de los coeficientes $A$ es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

$\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right\vert$