La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

left{begin{array}{ccc}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\<br />
cdots&=&cdots\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+cdots+a_{mn}x_n&=&b_m<br />
end{array}right.

La matriz de los coeficientes A es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

Delta=det(A)=leftvertbegin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\<br />
a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\<br />
cdots&cdots&cdots&cdots\<br />
a_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}<br />
end{array}rightvert

La solución del sistema es:

x_1=displaystylefrac{Delta x_1}{Delta}

x_2=displaystylefrac{Delta x_2}{Delta}

cdots

x_n=displaystylefrac{Delta x_n}{Delta}

donde Delta x_j es el determinante de la matriz que se obtiene de intercambiar la columna j por la columna de los resultados.

Ejemplo:

left{begin{array}{ccc}<br />
2x+y-3z&=&1\<br />
-x+5y+z&=&4\<br />
3x-2y-4z&=&-1<br />
end{array}right.

Delta=det(A)=leftvertbegin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\<br />
-1&5&1\<br />
3&-2&-4<br />
end{array}rightvert=-4

Delta_x=leftvertbegin{array}{ccc}<br />
1&1&-3\<br />
4&5&1\<br />
-1&-2&-4<br />
end{array}rightvert=-12

Delta _y=leftvertbegin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\<br />
-1&4&1\<br />
3&-1&-4<br />
end{array}rightvert=-4

Delta_z=leftvertbegin{array}{ccc}<br />
2&1&1\<br />
-1&5&4\<br />
3&-2&-1<br />
end{array}rightvert=-8

Por lo tanto:

x=displaystylefrac{-12}{-4}=3

y=displaystylefrac{-4}{-4}=1

z=displaystylefrac{-8}{-4}=2

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