Archivo de febrero, 2010

Solución de una ecuación

Decimos que un valor es una solución de una ecuación si al reemplazarlo en la misma tenemos una igualdad numérica.

Ejemplo:

  • En la ecuación 3x-17=19 la solución es x=12
    Veriquemos:
    3x-17=19
    3.12-17=19
    36-17=19

Si hay una sola incógnita la solución obviamente se reemplaza por ella, pero si hay más de una incógnita debemos nombrar cada una.

  • En la ecuación 2x-3y=7
    Una solución es x=5; y=1
    Verifiquemos:
    2.5-3.1=7
    10-3=7

En una ecuación no siempre la ecuación es única, puede haber más de una o quizás infinitas soluciones.

  • En la ecuación 2x-3y=7
    Una solución es x=5; y=1
    Otra solución es x=23;y=13
    Verifiquemos:
    2.23-3.13=7
    46-39=7

También hay ecuaciones donde no hay solución.

  • En la ecuación x=x+5 no hay solución
    Una explicación que podríamos dar sería: ningún número puede ser igual a sí mismo aumentado en 5.

Entonces, podemos clasificar las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones:

Ecuaciones Soluciones
Compatibles determinadas Cantidad finita
Compatibles indeterminadas Infinitas
Incompatibles Sin solución

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La verdadera felicidad está en las pequeñas cosas: una pequeña mansión, un pequeño yate, una pequeña fortuna…

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promedio

Media aritmética o promedio

La media aritmética o promedio es un valor representativo de un conjunto de datos numéricos.

Es una de las medidas que indica un valor central del conjunto de datos.

Si reemplazáramos todos los datos numéricos de mi conjunto por el valor de la media aritmética, la suma total de todos los datos no cambia.

Ejemplo:

  • Supongamos que tenemos las siguientes notas en el curso de Lengua, 6, 9 y 9. La suma de todos los datos es 6+9+9=24
    Si reemplazamos todas las notas por 8, la suma nos daría también 24, es decir, 8 es el promedio o media aritmética de las tres notas.

Usamos el símbolo \overline{x} para representar a la media aritmética.

La propiedad anterior la podríamos escribir en símbolo de la siguiente manera:

n.\overline{x}=x_1+x_2+x_3+...+x_n

La expresión anterior nos indica que para calcular la media aritmética podemos realizar la siguiente operación:

\overline{x}=\displaystyle\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}

Entonces podríamos haber calculado el promedio de nuestro ejemplo así:

\overline{x}=\displaystyle\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=\frac{6+9+9}{3}=8

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numero-e

El número e

El número e se define como:

e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n

Se lo conoce con el nombre de número de Neper o número de Euler, es un número real y es irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

e=2,718281828...

Supongamos que tenemos $1 y lo ponemos en un banco al 100% anual y se pagan los intereses en un período, tendremos:

1er período = $1 . 2 = $2

Pero si los intereses se pagan en dos períodos tendremos:

1er periodo = $1 . 1,5 = $1,5
2do período = $1,5 . 1,5 = $2,25

En tres períodos, tendríamos.

1er período = $1 . 1,33 = $1,33
2do período = $1,33 . 1,33 = $1,77
3er período = $1,77 . 1,33 = $2,37

Ordenando los datos en una tabla y buscando el capital final con períodos mayores, obtenemos:

Cantidad de períodos Factor de multiplicación Capital Final
1 1+1=2 $2
2 1+1/2=1,5 $2,25
3 1+1/3=1,33 $2,37
4 1+1/4=1,25 $2,44
5 1+1/5=1,2 $2,48
10 1+1/10=1,10 $2,59
100 1+1/100 $2,70
1000 1+1/1000 $2,71

Si quisiéramos saber cual es el capital considerando 10000 períodos, deberíamos realizar la siguiente operación:

\$1.(1+\frac{1}{10000})^{10000}=\$2.718145927

que se aproxima bastante al valor de e.

Usando una calculadora científica, la computadora, wolframalpha o el buscador de google, encuentren el capital retirado utilizando 1 millón de períodos.

(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}

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