Archivo de Febrero, 2010

Solución de una ecuación

28 Feb

Decimos que un valor es una solución de una ecuación si al reemplazarlo en la misma tenemos una igualdad numérica.

Ejemplo:

En la ecuación $3x-17=19$ la solución es $x=12$
Veriquemos:
$3x-17=19$
$3.12-17=19$
$36-17=19$

Si hay una sola incógnita la solución obviamente se reemplaza por ella, pero si hay más de una incógnita debemos nombrar cada una.

En la ecuación $2x-3y=7$
Una solución es $x=5; y=1$
Verifiquemos:
$2.5-3.1=7$
$10-3=7$

En una ecuación no siempre la ecuación es única, puede haber más de una o quizás infinitas soluciones.

En la ecuación $2x-3y=7$
Una solución es $x=5; y=1$
Otra solución es $x=23;y=13$
Verifiquemos:
$2.23-3.13=7$
$46-39=7$

También hay ecuaciones donde no hay solución.

En la ecuación $x=x+5$ no hay solución
Una explicación que podríamos dar sería: ningún número puede ser igual a sí mismo aumentado en 5.

Entonces, podemos clasificar las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones:

Ecuaciones	Soluciones
Compatibles determinadas	Cantidad finita
Compatibles indeterminadas	Infinitas
Incompatibles	Sin solución

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27 Feb

Publicado por roberprof en [...]

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La verdadera felicidad está en las pequeñas cosas: una pequeña mansión, un pequeño yate, una pequeña fortuna…

Media aritmética o promedio

24 Feb

Publicado por roberprof en 1er Año

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La media aritmética o promedio es un valor representativo de un conjunto de datos numéricos.

Es una de las medidas que indica un valor central del conjunto de datos.

Si reemplazáramos todos los datos numéricos de mi conjunto por el valor de la media aritmética, la suma total de todos los datos no cambia.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos las siguientes notas en el curso de Lengua, 6, 9 y 9. La suma de todos los datos es $6+9+9=24$
Si reemplazamos todas las notas por 8, la suma nos daría también 24, es decir, 8 es el promedio o media aritmética de las tres notas.

Usamos el símbolo $\overline{x}$ para representar a la media aritmética.

La propiedad anterior la podríamos escribir en símbolo de la siguiente manera:

$n.\overline{x}=x_1+x_2+x_3+...+x_n$

La expresión anterior nos indica que para calcular la media aritmética podemos realizar la siguiente operación:

$\overline{x}=\displaystyle\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}$

Entonces podríamos haber calculado el promedio de nuestro ejemplo así:

$\overline{x}=\displaystyle\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=\frac{6+9+9}{3}=8$

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El número e

23 Feb

Publicado por roberprof en 6to Año

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El número e se define como:

$e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$

Se lo conoce con el nombre de número de Neper o número de Euler, es un número real y es irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

$e=2,718281828...$

Supongamos que tenemos $1 y lo ponemos en un banco al 100% anual y se pagan los intereses en un período, tendremos:

1er período = $1 . 2 = $2

Pero si los intereses se pagan en dos períodos tendremos:

1er periodo = $1 . 1,5 = $1,5
2do período = $1,5 . 1,5 = $2,25

En tres períodos, tendríamos.

1er período = $1 . 1,33 = $1,33
2do período = $1,33 . 1,33 = $1,77
3er período = $1,77 . 1,33 = $2,37

Ordenando los datos en una tabla y buscando el capital final con períodos mayores, obtenemos:

Cantidad de períodos	Factor de multiplicación	Capital Final
1	1+1=2	$2
2	1+1/2=1,5	$2,25
3	1+1/3=1,33	$2,37
4	1+1/4=1,25	$2,44
5	1+1/5=1,2	$2,48
…	…	…
10	1+1/10=1,10	$2,59
…	…	…
100	1+1/100	$2,70
…	…	…
1000	1+1/1000	$2,71

Si quisiéramos saber cual es el capital considerando 10000 períodos, deberíamos realizar la siguiente operación:

$\$1.(1+\frac{1}{10000})^{10000}=\$2.718145927$

que se aproxima bastante al valor de $e$ .

Usando una calculadora científica, la computadora, wolframalpha o el buscador de google, encuentren el capital retirado utilizando 1 millón de períodos.

$(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}$

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Ecuación

22 Feb

Publicado por roberprof en 1er Año

3 comentarios

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las cuales por lo menos debe existir una incógnita.

Las expresiones deben contener operaciones matemáticas con números e incógnitas.

La o las incógnitas se representan con letras, normalmente se utiliza un letra x pero no es una regla.

Ejemplos de ecuaciones:

$3x-47=13$
$10=4m-m+18$
$4(a-5)=6a-30$
$2x^2-1=49$
$2=4p+p^3$
$1=2-\frac{1}{b}$
$\sqrt{x-3}=7$
$x+y=20$

Hagamos algunas consideraciones acerca de los ejemplos:

Las ecuaciones 1 a 7 tienen una incógnita, la ecuación 8 tiene dos incógnitas.
Las ecuaciones 2, 3 y 5 tienen una incógnita que aparece más de una vez en la ecuación, el valor de la incógnita es el mismo en toda la ecuación.
Las tres primeras ecuaciones y la última reciben el nombre de ecuaciones lineales, las incógnitas solo intervienen en las operaciones de suma, resta y multiplicación por un número.
La ecuación 4 recibe el nombre de ecuación cuadrática y la 5 el nombre de ecuación cúbica, los nombres se derivan de los exponentes de las incógnitas.
La ecuación 6 recibe el nombre de ecuación racional, dado que la incógnita aparece en el denominador de una fracción o también podríamos decir como divisor en una división.
La ecuación 7 recibe el nombre de ecuación irracional, dado que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.