Archivo de marzo, 2010


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polares-1

Coordenadas polares de un vector

Podemos describir un vector con origen en un sistema de ejes cartesianos a partir de un número que indique su módulo y ángulo que nos de la dirección del mismo.

Por ejemplo:

\overrightarrow{v}=4_{150^{\circ}}

algunos autores ponen la información ente paréntesis

\overrightarrow{v}=(4;150^{\circ})

Para representar gráficamente al vector v, medimos el ángulo desde el semieje positivo x y giramos en sentido contrario a las agujas del reloj.

Luego desde el origen del sistema de coordenadas medimos el módulo del vector con 4 unidades.

Para obtener las componentes del vector debemos usar un poquito de trigonometría.

\overrightarrow{v}=(4.Cos(150^{\circ});4.Sen(150^{\circ}))=(-3,4;2)

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vectores-libres

Vectores libres

A diferencia de los vectores fijos, que para ser equivalentes tienen que tener igual:

  • módulo
  • dirección
  • sentido
  • punto de aplicación

Los vectores libres se dice que son equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vale aclarar que para tener la misma dirección los vectores deben estar en la misma recta o en rectas paralelas.

Los vectores u, v y w son equivalentes, el vector z tiene la misma dirección y módulo que los tres anteriores pero diferente sentido por eso no es equivalente a ninguno de ellos.

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Operaciones con números enteros: suma y resta

-
Suma

Para sumar dos números enteros hay que tener en cuenta el signo y el valor absoluto de cada número. Luego podemos agrupar las reglas de la suma en dos proposiciones.

  • Para sumar dos números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo que tienen los dos números.
    Ejemplos:
    (+8)+(+5)=+13
    (-8)+(-5)=-13
    +4+6=+10
    -4-6=-10
  • Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y el signo del resultado coincide con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
    Ejemplos:
    (+8)+(-5)=+3
    (-8)+(+5)=-3
    +4-6=-2
    -4+6=+2
  • Al igual que en los números naturales el cero es el elemento neutro para la suma de números enteros.
    Ejemplos:
    -9+0=-9
    0-5=-5
    (+5)+0=+5

Resta

Para restar dos números enteros hay que transformar la resta en una suma con la siguiente regla:

  • Para restar dos números sumamos al primer número (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
    a-b=a+(-b)
    Ejemplos:
    (+4)-(-3) =(+4)+(+3)=+7
    (+4)-(+3) =(+4)+(-3)=+1
    -7-(-4)=-7+4=-3
    -7-(+4)=-7+(-4)=-11

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Analizando los diferentes ejemplos de suma y resta de números enteros vemos que a veces para sumar tenemos que restar y otras veces cuando tenemos que restar, sumamos. Es decir, todo depende de la operación dada y de los signos de los números.

Otra consideración que tenemos que hacer es la siguiente, cuando trabajamos situaciones con números positivos y negativos, no sabíamos ninguna de las reglas dadas anteriormente, usábamos el sentido común para llegar a la respuesta de una operación, para algunos, es más eficiente usar esas situaciones que memorizar las reglas que acabamos de escribir.

Otra consideración importante es el exceso de paréntesis que están en los ejemplos, podríamos quitarlos siguiendo las siguientes reglas:

  • Si delante de un paréntesis no hay ningún signo o un signo positivo, podemos quitar el paréntesis y el número conserva su signo.
    (+a)=+a=a
    (-a)=-a
    a+(+b)=a+b
    a+(-b)=a-b
  • Si delante de un paréntesis hay un signo negativo, quitamos el paréntesis, pero cambiamos el signo a los números que se encuentran dentro del paréntesis.
    a-(+b)=a-b
    a-(-b)=a+b

Quitemos todos los paréntesis de los ejemplos y resolvamos las operaciones usando la siguiente situación, si un número es positivo tenemos plata a nuestro favor, si es negativo es una deuda.

  • (+8)+(+5)=+8+5=+13
    Tengo $8 y $5, en total tengo $13.
  • (-8)+(-5)=-8-5=-13
    Debo $8 y debo $5 más, en total, debo $13.
  • +4+6=+10
    Tengo $4 y encontré $6, ahora tengo $10.
  • -4-6=-10
    Compré un golosina por $4 y le debía al kiosquero $6, ahora le debo $10.
  • (+8)+(-5)=+3
    Tengo $8 y debo $5, pagué mi deuda y me sobraron $3.
  • (-8)+(+5)=-3
    Debo $8 y pague $5, ahora solo debo $3.
  • +4-6=-2
    Tengo $4 y compré golosinas por $6, quedé debiendo $2.
  • -4+6=+2
    Debo $4 y tengo $6 , pagué mi deuda y me sobraron $2.

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puntos

Puntos en el plano

Para representar puntos en el plano necesitamos establecer un sistema de coordenadas cartesianas.

Primero observen las coordenadas de los siguientes puntos. (Haz clic aquí)

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E? (Haz clic aquí)

Una ayuda podría ser pensar de la siguiente manera, supongan que se encuentran en el punto O=(0,0) (miren la imagen anterior) y quieren llegar al punto A. Las consignas para desplazarse son las siguientes, primero de manera horizontal y luego vertical. Para llegar a A desde O, primero se desplazan dos unidades a la derecha y luego tres unidades para arriba. Teniendo en cuenta las consideraciones dadas, para llegar al punto A realizamos dos desplazamientos y lo podemos escribir como (2,3).

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conjuntos

Propiedades de Conjuntos

Dados los conjuntos A, B y X.

Tal que A \subset X y B \subset X.

Propiedad:

  • \bold{A-B=A \cap B^c}

Demostración:

Como debemos demostrar una igualdad entre conjuntos y ésta es equivalente a una doble inclusión, dividimos la demostración en dos partes.

  • Sea x \in A-B, entonces x \in A y x \notin B
    o lo que es lo mismo  x \in A y x \in B^c.
    Por lo tanto x \in A\cap B^c
  • Sea x \in A\cap B^c
    es decir,  x \in A y x \in B^c
    o sea que, x \in A y x \notin B.
    Por lo tanto x \in A-B

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tablas.png

Tablas de frecuencias en Google Docs

Supongamos que queremos realizar la siguiente tabla, en una hoja de cálculos en Google Docs.

Cantidad de hnos. Frecuencia
0 5
1 6
2 8
3 4
4 2

Abrimos una hoja de cálculo nueva en el menú Archivo de nuestra cuenta de Google Docs, luego copiamos la tabla en dos columnas.

tablas

Para calcular el total de la población debemos sumar las frecuencias para eso usaremos la opción Sum del menú Fórmulas

tablas1

Pero debemos tener seleccionada una celda, por ejemplo la celda B7 para que quede la suma en la última fila de la columna Frecuencia.

tablas2Luego seleccionamos las celdas que queremos sumar, desde la B2 hasta la B6 y cerramos la fórmula agregando un paréntesis.

tablas3Finalmente hacemos Enter y tenemos la suma de las frecuencias.

tablas4

Le damos un poquito de color a nuestra tabla y nos preparamos para hacer la columna de Frecuencias relativas.

tablas5

La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia y el total de la población (que debe coincidir con la suma de las frecuencias). Para realizar una operación matemática en una celda de una hoja de cálculo debemos empezar la misma con un igual “=”, después indicamos la división de la frecuencia que se encuentra en la celda B2 por la suma de las frecuencias que se encuentra en B7. Para darle entrada a la operación se debe apretar Enter.

tablas6

Repetimos la operación en las otras celdas de la columna Frecuencia Relativa y completamos la celda “Totales” de la “Frecuencia relativa” con la función Suma ya usada antes, como la suma de las frecuencias relativas es 1 tendría que quedarnos más o menos así:

Para terminar nuestra tabla de frecuencias nos falta la columna “Porcentaje”, para completarla hacemos algo parecido a lo que hicimos para Frecuencias relativas, nos situamos en la celda D2 y tecleamos “=”, como tenemos que multiplicar la frecuencia relativa por 100, nos tendría que quedar como la siguiente imagen.

Repetimos lo mismo en las otras celdas y buscamos la suma de la columna “Porcentaje”, si todo nos fue bien dicha suma tendrá que ser 100%.

Y por fin nuestra Tabla de Frecuencias quedó terminada.

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suma-de-vect

Suma de vectores con Geogebra

Usemos el programa Geogebra para trabajar la suma de vectores.

  • Para sumar gráficamente los vectores, deberán: hacerlos coincidir en el origen, trazar por los extremos de cada vector una recta paralela a la dirección del otro vector, marcar el punto de intersección de las dos paralelas. Finalmente el vector suma es el que tiene por origen, el origen de los vectores y como extremo la intersección anterior.
  • Para sumar analíticamente los vectores, hay que sumar sus componentes.

Trabajen en la siguiente página para repasar los conceptos dados. Aquí.

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docs01

Gráficos estadísticos con Google Docs

Supongamos que queremos realizar gráficos a partir de la siguiente tabla que obtuvimos con la información de los alumnos de nuestro curso.

Cantidad de hermanos Frecuencia
0 5
1 6
2 8
3 4
4 2
Totales 25

Para trabajar con Google Docs necesitas tener una cuenta en Google o Gmail, si no la tienes puedes hacerla aquí.

Una vez que entras a Google Docs, deberás crear una nueva hoja de cálculo.

La hoja de cálculo está divida en filas y columnas, la verás más o menos como la siguiente imagen.

Ahora deberás cargar los datos de la tabla en la hoja de cálculo.

Para crear un gráfico a partir de la tabla debemos marcar la columna de los valores y de las frecuencias, desde la A2 hasta la B6. Luego deberán hacer clic en Insertar > Gráficos se abrirá una ventana donde podrán elegir el tipo de gráfico.

Si eligieron realizar un gráfico de barras, les quedará de ésta forma.

Pueden entrar al enlace a directo de la hoja de cálculo.

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