Archivo de abril, 2010

vector-posicion

Vectores – Ejercitación

  1. Dado el vector \vec{v}=(4;-2).
    a) Grafíquenlo.
    b) Encuentren las componentes de 3.\vec{v}
    c) Encuentren las componentes de -2.\vec{v}
  2. Dado el vector \vec{w}=(3;-1)
    a) Grafíquenlo.
    b) Encuentren sus coordenadas polares.
  3. Un vector tiene como origen el punto O=(-2;1) y extremo el punto E=(3;1)
    a) Grafíquenlo.
    b) ¿Cuáles son las componentes del vector?
    c) ¿Cuál es la longitud del vector?
    d) ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por O y E?
    e) ¿Cuál es  la ecuación general de la recta que pasa por O y E?

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punto-parabola

Distancia mínima de un punto a una parábola

Hallar el punto sobre la gráfica de la ecuación y^2=4x que está más cerca de (2,4).

Como no conozco las coordenadas del punto en cuestión lo llamo P=(x,y)

Lo primer que tenemos que recordar es como se cálcula la distancia entre dos puntos del plano.

d(P,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}

d(P,A)^2=(x-2)^2+(y-4)^2

Pero como el punto P pertenece a la parábola y depende de x:

y^2=4x \Rightarrow y=\sqrt{4x} \Rightarrow y=2\sqrt{x}

P=(x,y)=(x,2\sqrt{x})

Reemplazando ésta expresión en el cuadrado de la distancia:

d(P,A)^2=(x-2)^2+(2\sqrt{x}-4)^2

f(x)=(x-2)^2+(2\sqrt{x}-4)^2

f(x)=x^2-4x+4+2^2.(\sqrt{x})^2-16.\sqrt{x}+16

f(x)=x^2-4x+4+4x-16.\sqrt{x}+16

f(x)=x^2-16.\sqrt{x}+20

Ahora derivemos la función obtenida:

f'(x)=2x-\frac{8}{\sqrt{x}}

Igualamos a cero la derivada:

f'(x)=0

2x-\frac{8}{\sqrt{x}}=0

Averiguamos en que valor de x se anula la derivada:

x=2\sqrt[3]{2}=2,52

En este valor de x la función f(x) toma un mínimo, por lo tanto encontramos la primera coordenada del punto buscado.

Para averiguar y, reemplazamos el valor de x en la ecuación de la parábola.

y^2=4x

y^2=4.2\sqrt[3]{2}

y=3,17

distancia

 

 

 

 

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