Hallar el punto sobre la gráfica de la ecuación y^2=4x que está más cerca de (2,4).

Como no conozco las coordenadas del punto en cuestión lo llamo P=(x,y)

Lo primer que tenemos que recordar es como se cálcula la distancia entre dos puntos del plano.

d(P,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}

d(P,A)^2=(x-2)^2+(y-4)^2

Pero como el punto P pertenece a la parábola y depende de x:

y^2=4x \Rightarrow y=\sqrt{4x} \Rightarrow y=2\sqrt{x}

P=(x,y)=(x,2\sqrt{x})

Reemplazando ésta expresión en el cuadrado de la distancia:

d(P,A)^2=(x-2)^2+(2\sqrt{x}-4)^2

f(x)=(x-2)^2+(2\sqrt{x}-4)^2

f(x)=x^2-4x+4+2^2.(\sqrt{x})^2-16.\sqrt{x}+16

f(x)=x^2-4x+4+4x-16.\sqrt{x}+16

f(x)=x^2-16.\sqrt{x}+20

Ahora derivemos la función obtenida:

f'(x)=2x-\frac{8}{\sqrt{x}}

Igualamos a cero la derivada:

f'(x)=0

2x-\frac{8}{\sqrt{x}}=0

Averiguamos en que valor de x se anula la derivada:

x=2\sqrt[3]{2}=2,52

En este valor de x la función f(x) toma un mínimo, por lo tanto encontramos la primera coordenada del punto buscado.

Para averiguar y, reemplazamos el valor de x en la ecuación de la parábola.

y^2=4x

y^2=4.2\sqrt[3]{2}

y=3,17

distancia

 

 

 

 

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