Análisis de funciones

Análisis Matemático Add comments

jun 282010

Analicen las siguientes funciones:
a) $f(x)=sqrt{x-2}$
Representación gráfica
Dominio: $Rgeq2$
Imagen: $Rgeq0$
Raíces: 2
Ordenada al origen: —
Conjunto de positividad: $(2;infty)$
Conjunto de negatividad: —
Máximo: —
Mínimo: $(2,0)$
Intervalo de crecimiento: $(2;infty)$
Intervalo de decrecimiento: —

b) $g(x)=2x^3-8x^2-2x+8$

Teorema de Gauss: primero busquemos las raíces
$p=2$ , $q=8$
Posibles raíces: $frac{q}{p}=pm1,pm2, pm4,pm8$
1 es una raíz dado g(1)=0
Aplicando la regla de Ruffini y factoreando obtenemos:
$g(x)=2x^3-8x^2-2x+8=(x-1).(2x^2-6x-8)=2.(x-1).(x^2-3x-4)$
Aplicando la fórmula resolvente a la ecuación cuadrática
$x^2-3x-4=0$ ; $displaystyle x=frac{3pmsqrt{3^2-4.1.(-4)}}{2.1}=frac{3pm5}{2}$
Y las otras dos raíces de la función g son -1 y 4
Por lo tanto:
$g(x)=2x^3-8x^2-2x+8=(2.(x-1).(x^2-3x-4)=2.(x-1).(x+1).(x-4)$
Ahora busquemos máximos y mínimos:
$g^{prime}(x)=6x^2-16x-2$
Ahora debemos igualar la derivada a cero y encontrar sus raíces:
$6x^2-16x-2=0$
$x=2,7$ y $x=-0,1$
$g(2,7)=-16,3$
$g(-0,1)=8,1$

Representación gráfica:
Dominio: $R$
Imagen: $R$
Raíces: 1, -1, 4
Ordenada al origen: 8
Conjunto de positividad: $(-1;1) U (4;infty)$
Conjunto de negatividad: $(-infty;-1) U (1;4)$
Máximo: $(-0,1;8,1)$
Mínimo: $(2,7;-16,3)$
Intervalo de crecimiento: $(-infty;-0,1) U (2,7;infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(-0,1;2,7)$
Encuentren la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)=x^3+2x^2$ en $x=2$ .
Veamos cuál es el punto por donde pasa la tangente:
$h(2)=2^3+2.2^2=16$
EL punto de tangencia es $(2,16)$
Ahora busquemos la pendiente de la recta:
$h^{prime}(x)=3x^2+4x$
$h^{prime}(2)=3.2^2+4.2=20$
La recta tangente tiene la forma:
$y=ax+b$
$16=20.2+b$
$-24=b$
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
$y=20x-24$

5 Responses to “Análisis de funciones”

nicolas says:

29 junio 2010 at 12:48

felicitaciones muy bueno el blog. saludos, abrazos.

Responder
Gastón Ovejero Cornejo says:

30 junio 2010 at 21:42

me quedo todo re claro, hasta hice ejercicios que mañana te muestro.
lo unico que no se que es, es el ULTIMO “-24″ en el ULTIMO punto, no me afecta xq nose que hace y no tengo nada que hacer con el, es solo el resultado y se como sacarlo pero nose que es..

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- roberprof says:
  
  30 junio 2010 at 22:55
  
  Hola Gastón:
  
  -24 es la ordenada al origen de la ecuación de la recta tangente (en forma explícita).
  Por ejemplo:
  La ecuación de una recta (en su forma explícita) tiene la forma y=ax+b
  Antes encontramos que la pendiente era 20 eso es “a” y la ordenada al origen es 24 eso es “b”.
  Por lo tanto la ecuación es y=20x-24
  
  Responder
Fede Lopez says:

30 junio 2010 at 23:36

Profe muy bueno todo, me ayudo bastante en las dudas que tenia esta publicacion!, Abrazo!

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agustina says:

1 julio 2010 at 16:40

esas 3 clases que no estuve se me hiso un bache, ahora entiendo todo. jaja
ponga una foto sonriente profe.

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