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Veamos ahora algunas propiedades de la potenciación con números naturales.

¿Qué sucede si el exponente de una potencia es 1?

Cómo el exponente nos indicaba la cantidad de veces que se multiplicaba la base, si el exponente es 1, “la multiplicación tiene un solo factor”, la misma base.

Ejemplos:

4^1=4

126^1=126

En podremos escribir:

Multipliquemos potencias de igual base.

2^4.2^3=(2.2.2.2).(2.2.2)

2^4.2^3=2.2.2.2.2.2.2

2^{bf4}.2^{bf3}=2^{bf7}

Veamos otra multiplicación:

3^3.3^1=(3.3.3).(3)

3^3.3^1=3.3.3.3

3^3.3^1=3^4

En general podríamos escribir:

El producto de dos potencias de igual base lo podemos escribir

como una potencia con la misma base y el exponente es la suma

de los exponentes de las potencias anteriores.

Ahora dividamos potencias de igual base.

4^5:4^3=(4.4.{bf4}.{bf4}.{bf4}):({bf4}.{bf4}.{bf4})

4^5:4^3=4.4

Otro ejemplo:

frac{7^3}{7^2}=frac{7.{bf7}.{bf7}}{{bf7}.{bf7}}

frac{7^3}{7^2}=7=7^1

En general podríamos escribir:

El cociente de dos potencias de igual base lo podemos escribir

como una potencia con la misma base y el exponente es la diferencia

de los exponentes de las potencias anteriores.

Veamos que resulta de una potencia de otra potencia.

(2^3)^2=2^3.2^3

(2^3)^2=(2.2.2).(2.2.2)

(2^3)^2=2.2.2.2.2.2

(2^{bf3})^{bf2}=2^{bf6}

Otro ejemplo:

(5^3)^4=5^3.5^3.5^3.5^3

(5^3)^4=5^{3+3+3+3}

(5^3)^4=5^{12}

prop3

Una potencia de otra potencia tiene por resultado otra potencia

con la misma base, pero el exponente es el producto

de los exponentes anteriores.

–.–

Veamos que ahora que pasa cuando interviene el cero en las potencias, como exponente o como base.

Si el cero se encuentra como base no tendremos muchos problemas, dado que el cero multiplicado una cierta cantidad de veces da como resultado cero.

Para interpretar que pasa con el cero como exponente a^0 veamos la siguiente cadena de igualdades:

1=frac{8}{8}=frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0

Es decir que:

2^0=1

Generalicemos y cambiemos el 2 por a que representa a cualquier número natural, n también representa  a cualquier número natural.

1=frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0

Es decir que:

a^0=1

Eso vale si a es un número natural cualquiera.

¿Qué sucederá si a también es cero?

En ese caso nuestra explicación no serviría, porque 1=frac{0^n}{0^n}, y el denominador de esa fracción ya vimos que es cero y también sabemos que las únicas divisiones que no están definidas (que no podemos realizar) son las que tienen el divisor igual a cero.

Por lo tanto, recordemos que:

Todo número natural elevado a la cero es igual uno.

0^0 No está definido.

–.–

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