Archivo de marzo, 2011

Un límite interesante

Estudiar el siguiente límite:

\displaystyle lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^{4n}}{n \binom{2n}{n}^2}=

donde

\binom{m}{n}=\frac{m!}{(m-n)!.n!}

es el número combinatorio.

En la calculadora:

\binom{m}{n} =mCn

Número de Visitas: 871

recta_tangente

Rectas secantes y tangentes

Vamos a ver como obtenemos la recta tangente a la curva en el punto P, teniendo en cuenta el límite de las rectas secantes PQ cuando Q se acerca a P.

Haz click en la imagen

Número de Visitas: 2436


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
graph3

Graficador de funciones

Representar gráficamente funciones:

Ejemplos

  • f(x)=x^2+x
    Insertar: x^2+x
  • f(x)=Seno(x)
    Insertar: sin x
  • f(x)=Seno(x)
    Dominio = [-10;10]
    Insertar: sin x from -10 to 10
  • f(x)=2^x
    Dominio = [-5;4]
    Insertar: 2^x from -5 to 4

Número de Visitas: 45106

operacion01

Operaciones combinadas

Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, separando en términos y paso a paso.

Verifiquen la solución de las mismas, usando las calculadoras o con las herramientas que se encuentran al final del post.

1) \sqrt{4+8.4}-5^2:(1+2.2)=

2) (3:3+14:2).3+(2^0+3^1+4^2):\sqrt{25}=

3) 4.5:(3^2+\sqrt[5]{1})+(3+2.2)^3=

4) \sqrt[3]{2.15-3}+\sqrt[4]{2.40+1}=

Respuesta del ejercicio 1

Usando wolframalpha

Usando Mathematics 4.0

 

Número de Visitas: 2179


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
fun-traslaciones

Transformaciones de funciones: traslaciones

Al aplicar ciertas transformaciones a la representación gráfica de una función dada, obtenemos representaciones de funciones relacionadas.

Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x)+c es la gráfica de la función y=f(x) desplazada c unidades hacia arriba. Esto se debe a que cada ordenada de los puntos del gráfico aumentan c unidades.

Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x-c) es la gráfica de la función y=f(x) desplazada dos unidades hacia la derecha. Esto se debe a que si la función tenía un valor en cierto x, ahora dicho valor se lo encontrará en x+c.

Traslaciones: verticales y horizontales

Supongamos que c>0, entonces la gráfica de:

  • y=f(x)+c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia arriba.
  • y=f(x)-c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia abajo.
  • y=f(x-c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la derecha.
  • y=f(x+c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la izquierda.

Ejemplo (en Geogebra)

Ejemplo (en Mathematics)

Número de Visitas: 8321


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815
fun-continua

Continuidad de una función en un punto

En muchas ocasiones para hallar el límite de una función en un punto p, es suficiente con el encontrar el valor de la funcion en, es decir, f(p). Se dice que las funciones que tienen ésta propiedad son continuas en el punto p. En este caso, la definción matemática de continuidad se corresponde con el significado de la misma en el lenguaje cotidiano, como un proceso que se cumple gradualmente sin interrupciones ni cambios abruptos.

Una función f(x) es continua en p si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

  • \exists f(p)
  • \exists lim_{x \rightarrow p} f(x)
  • lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)

Resumiendo:

f es continua en p si

lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)

Si una función no es continua en el punto p, se dice que es discontinua.

¿En dónde son discontinuas cada una de las siguientes funciones?

  • \displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+2}
  • f(x) = \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+2}\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x\neq -2\\1\hspace{3cm}si \hspace{1cm}x=-2\end{array}\right.
  • f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle  f(x)=\frac{1}{x^2}\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x\neq 0\\1\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x=0\end{array}\right.
  • f(x)=\left\|{x}\right\|

La última función recibe el nombre de función “parte entera” y como su nombre lo indica, conserva la parte entera del número real.

Grafiquen las funciones anteriores.

Número de Visitas: 2247

Límite

Podemos asegurar que el límite de una función en un punto p existe, si existen los límites laterales y coinciden.

Decimos que una función f(x) tiene límite cuando x tiende a p si y sólo si los límites por la izquierda y por la derecha en p, existen y coinciden.

lim_{x \rightarrow p^+} f(x) = lim_{x \rightarrow p^-} f(x) = l \leftrightarrow lim_{x \rightarrow p} f(x) = l

Número de Visitas: 888

Límites laterales

Podemos analizar el límite de una función en un punto p, pero acercándonos por la derecha (valores mayores a p) o por la izquierda (valores menores a p).

Decimos que f(x) tiende a l cuando x tiende a p por la izquierda si a medida que x toma valores cada vez más cercanos a p, pero menores a él (x < p), entonces f(x) toma valores cada vez más próximos a l.

lim_{x \rightarrow p^-} f(x) = l

Decimos que f(x) tiende a l cuando x tiende a p por la derecha si a medida que x toma valores cada vez más cercanos a p, pero mayores a él (p < x), entonces f(x) toma valores cada vez más próximos a l.

lim_{x \rightarrow p^-} f(x) = l

Los límites anteriores se llaman límites laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente.

Los límites laterales no siempre coinciden.

Número de Visitas: 861

Asíntotas

Existen tres tipos de asíntotas de a una función:

Asíntotas verticales

Una función f(x) tiene una asíntota vertical en x = p, si existen algunos de los siguientes límites:

lim_{x \rightarrow p^+}f(x)=\pm \infty

lim_{x \rightarrow p^-}f(x)=\pm \infty

Asíntotas horizontales

Una función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = q, si existen algunos de los siguientes límites:

lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=q

Asíntotas oblicuas

Una función f(x) tiene una asíntota en la recta y = ax + b si existe el siguiente límite:

lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-(ax+b)]=0

 

Número de Visitas: 1382


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Operaciones combinadas con números naturales

Jerarquía de las operaciones:

  • Separamos en términos.
  • Se resuelven los paréntesis.
  • Se resuelven las potencias y raíces.
  • Se resuelven los productos y cocientes.
  • Se resuelven sumas y restas.

Ejemplo:

15:3.4+(2+4.5):2-2^5:\sqrt{16}=

Las operaciones que separan en términos son las sumas y las restas que no están dentro de paréntesis, ni dentro de raíces, ni en las bases de potencias.

En el ejemplo tenemos tres términos que pueden ser resueltos de forma independiente:

15:3.4

Como la multiplicación y la división se encuentran en un mismo nivel, la regla en este caso es resolverlos de izquierda a derecha.

15:3.4

5.4

20

El segundo término es:

(2+4.5):2

Primero resolvemos el paréntesis, pero en el mismo hay una operación combinada y por lo tanto debemos seguir con la jerarquía correspondiente.

(2+4.5):2

(2+20):2

22:2

11

Ahora resolvemos el tercer término:

2^5:\sqrt{16}

32:4

8

Si ubicamos todo en la misma operación, obtenemos:

15:3.4+(2+4.5):2-2^5:\sqrt{16}=

5.4+(2+20):2-32:4=

20+22:2-8=

20+11-8=

=23

Número de Visitas: 5633