Los Elementos de Euclides forman un conjunto de 13 libros dedicados a los fundamentos y al desarrollo, lógico y sistemático, de la geometría. Es la obra cumbre de la matemática griega. Durante siglos ha sido el texto obligado de geometría en todas las escuelas. Es el primer libro de fundamentación geométrica, y su estilo y ordenación fueron los moldes a los que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática.

No se trata, en absoluto, de un manual práctico o de un conjunto de reglas útiles que puedan servir para calcular o medir, al estilo de los documentos egipcios o babilónicos de épocas anteriores. Se trata de una estructura lógica que responde exactamente al concepto de Platón de la geometría: “Como si se tratara de alguna finalidad práctica, loe geómetras hablan siempre de cuadrar, prolongar, agregar, cuando en verdad la ciencia se cultiva con el único fin de conocer.”

Las bases de que parte Euclides para edificar su geometría son las definiciones, los postulados y las nociones comunes.

Las definiciones son veintitrés, al comienzo, aunque luego en el texto se van introduciendo otras más, hasta un total de ciento dieciocho. Con ellas se intenta dar nombre a los elementos en los cuales se va a construir la geometría. Citaremos algunas de ejemplo.

Punto es lo que no tiene partes.

Línea es una longitud sin anchura.

Recta es aquella línea que yace igualmente respecto de todos sus puntos.

Superficie es lo que tiene únicamente longitud y anchura.

Plano es la superficie igualmente situada respecto de sus rectas.

Ángulo es la inclinación entre dos líneas de un plano, las cuales se encuentran y no están en línea recta. Si las dos líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.

Rectas perpendiculares: si una recta forma con otra ángulos adyacentes iguales, cada uno de estos ángulos es recto y las rectas se llaman perpendiculares.

Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, no se encuentran al prolongarlas indefinidamente en ambas direcciones.

No es nuestro objeto en poner de manifiesto los inconvenientes y la inconsistencia de las primeras definiciones anteriores. Responden al afán, que la autoridad de Euclides hizo perdurar durante siglos, de definirlo todo, incluso las nociones primitivas de las cuales hay que partir en cualquier construcción lógica y que no pueden definirse en términos más simples. En las construcciones axiomáticas más modernas, el punto y la recta, por ejemplo, se introducen como elementos que satisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen por sus propiedades.

Geometría Proyectiva – Santaló

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