Supongamos que el segmento AB es congruente con el segmento A’B’. Dado que, según el axioma IV, 1, El segmento AB es congruente con sí mismo, se desprende del Axioma IV, 2, que A’B’ es congruente con AB, es decir, si AB ≡ A’B' , a continuación, A’B' ≡ AB. Decimos, entonces, que los dos segmentos son congruentes entre sí.

Sean A, B, C, D, … , K, L y A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ dos series de puntos en las líneas rectas a y a’, respectivamente, donde todos los segmentos correspondientes AB y A’B', AC y A’C', BC y B’C', … , KL y K’L’ son respectivamente congruentes, entonces las dos series de puntos se dicen que son congruentes entre sí. A y A’, B y B’, … L y L’ son llamados puntos correspondientes de las dos series de puntos congruentes.

De los axiomas lineades IV, 1-3, podemos deducir fácilmente los siguientes teoremas:

Teorema 9:

Si la primera de las dos series de puntos congruentes A, B, C, D, … , K, L y A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ está dispuesta de tal manera que B se encuentra entre A y C, D, … , K, L y C entre A, B, y D, … , K, L, etc., entonces los puntos A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ de la segunda serie están dispuestos de forma similar, es decir que, B’ se encuentra entre A’ y C’, D’, … , K’, L’, y C’ se encuentra entre A’, B’, y D’, … , K’, L’, etc.

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