A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de un función alrededor un valor de x (que hasta podría no pertenecer al dominio) como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener una idea más aproximada del gráfico de una función.

Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, al número l, que es al que se acerca f(x) cuando x toma valores cada vez más cercanos a a.

lim_{x\rightarrow a}f(x)=l

Dada la función:

f(x) = \displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}

  1. Encontremos el dominio.
  2. Analicemos que pasa con la función cuando x tiende a 2. Para ello completaremos una tabla con valores que se acerquen a 2, por exceso y por defecto.

Dominio

El dominio de la función son todos los reales distintos de 2.

\mathbb{R}\not= 2

Tomando valores cercanos a 2 obtenemos la siguiente tabla.

x f(x)
3 5
2,5 4,5
2,1 4,1
2,001 4,001
2 ?
1,999 3,999
1,9 3,9
1,5 3,5
1 3
Podemos observar que cuando los valores de x se aproximan a 2, los valores de la función se acercan a 4.
Lo escribimos de la siguiente manera:
lim_{x \rightarrow 2}f(x)=4
La función
f(x) = \displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}
tiene por representación gráfica una recta, podemos verlo si factorizamos el numerador de la función.
f(x) = \displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2
Dicha simplificación es posible siempre que x sea distinto de 2.
Observemos que a representación gráfica es una recta a la que le falta el punto (2,4).

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