Archivo de octubre, 2011

Estrategias para resolver problemas

¿Cómo resolver problemas?

Muchas veces no sabe uno, ni siquiera, por dónde empezar.  Ahora veremos unas cuantas estrategias de pensamiento útiles en combinatoria y toda clase de problemas. Estas estrategias te pueden ayudar encaminándote hacia la solución del problema.

  • Experimenta, juega con el problema
    La matemática es, en buena medida, una ciencia experimental. Al hacer experimentos con los datos del problema  te familiarizarás con ellos y más fácilmente se te ocurrirá lo que debes hacer para resolverlo.
    Es lo que, seguramente, hiciste cuando resolviste problemas anteriormente.
  • Hazlo más fácil para empezar
    Muchas veces un problema es difícil porque su extensión lo hace poco transparente. Si te inventas otro parecido pero más sencillo, se te puede ocurrir una idea que te lleve a resolver, después, el más difícil.
  • Haz un diagrama
    Un diagrama que resuma gráfica y esquemáticamente la situación del problema, proporciona un apoyo al pensamiento muchas veces decisivo para su resolución.
  • Escoge una buena notación
    La notación, la simbología que se utilice, puede ayudar mucho a la resolución de un problema.
    Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas
    Es posible que tu problema tenga el mismo aire que otro que ya hayas resuelto. Éste puede proporcionarte pistas que sean útiles para resolver el nuevo.
  • Imagínate el problema resuelto
    Una estrategia, útil en ocasiones, consiste en suponer tu problema resuelto e intentar obtener consecuencias que den alguna luz relacionando, mediante fórmulas, gráficas o figuras, lo que buscas (la solución) con que tienes (datos).
Extraído de Matemáticas 1 – Miguel de Guzmán

 

 

 

 

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Problemas de Combinatoria

Resuelvan los siguientes problemas:
  1. Una chica tiene 6 blusas, 4 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿Entre cuántas indumentarias distintas puede escoger para dar un paseo en bicicleta?
  2. ¿De cuántas formas pueden tres chicos repartirse tres helados distintos comiéndose un helado cada uno?
  3. Tres chicos van a una heladería en la que hay 4 tipos distintos de helados. ¿De cuántas formas distintas pueden hacer la elección si cada uno compra un helado?
  4. Cuatros chicos juegan una carrera. ¿De cuántas formas pueden ordenarse al llegar a la meta? No hay empates.
  5. Veinte chicos juegan una carrera. ¿De cuántas formas pueden ordenarse al llegar a la meta? No hay empates.
  6. En un juego de trenes hay dos vagones A y B, una locomotora L, como se indica en la figura. La locomotora puede empujar o arrastrar los vagones.
    Usando el desvío, en el que no se puede dejar más de un vagón, haz las maniobras necesarias para cambiar de lugar los vagones A y B, (es decir, colocar A donde está B y B donde está A).
  7. Dos amigos, Antonio y Laura, juegan de la siguiente forma: Antonio coloca sobre la mesa un cierto número de fósforos, entre 20 y 50. Laura toma entre 1 y 10 fósforos. Luego, Antonio toma entre 1 y 10 de las que quedan, y así sucesivamente. Gana el partido quien se lleve el último fósforo y deje la mesa vacía. ¿Quién tiene ventaja, Antonio o Laura? ¿Por qué?
  8. En un grupo de 3 señoras, X, Y, Z, una es argentina, otra española y otra brasileña. Están jugando a las cartas. Cada una ha pasado una carta a la que está a su derecha. La señora Y ha pasado una carta a la argentina. La señora X ha pasado una a la que pasado la carta a la brasileña. ¿Cuál de ellas es argentina, cuál española y cuál brasileña?
  9. Mi amigo Luis y yo jugamos a menudo al siguiente juego. Sobre un tablero de ajedrez uno coloca una ficha de dominó (no importa la numeración) ocupando dos casillas del tablero. Luego el otro coloca otra; luego el otro; … El primero que no puede colocar, pierde.
    Luis que amablemente, me deja siempre colocar el primero… ¡siempre me gana! ¿En qué consiste su plan?
  10. Los 18 socios de la Cofradía del Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez, del pueblo vecino, para hablar de sus problemas comunes.
    Cuando van a saludarse, a Isidro se le ocurrió una feliz idea:
    - Aprovechemos cada apretón de mano para partir una nuez.
    - Magnífica ocurrencia!… Celebraron los demás.
    ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?
  11. 10 amigos juegan tres partidos de bolos y, al final de cada una, anotan al vencedor.

1ra partida

2da partida

3ra partida

Vencedores

¿De cuántas maneras posibles se puede rellenar la hoja adjunta?

12) Diez amigos juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas tienen diferente tamaño, la más grande para el 1ro y la más chica para el 3ro.

13) ¿De cuántas formas pueden repartirse dos entradas para un concierto de rock entre seis chicas? ¿Y si en vez de 2 entradas tuvieran 3?

14) Los mismos diez amigos del problema anterior juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas tienen diferente tamaño, la más grande para el 1ro y la más chica para el 3ro.

15) Diez amigos juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas son iguales y no hay distinción entre el primer, el segundo y el tercer lugar.

16) Con 6 latas de pintura de distintos colores, ¿cuántas mezclas de tres pinturas se pueden hacer?

 

Problemas extraídos del Libro Matemática 1 – COU – Miguel de Guzmán

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Número Combinatorio

Definición

Sean

m,n\in \mathbb{N}_{0}

es decir, dos números naturales incluido el cero, tal que

m \geq n

Llamamos número combinatorio “m sobre n” a

\binom{m}{n}

definido por

\binom{m}{n}=\frac{m!}{(m-n)!.n!}

Ejemplos

\binom{8}{5}=\frac{8!}{(8-5)!.5!}=\frac{8!}{3!.5!}=\frac{8.7.6}{3.2.1}=56

En una calculadora científica:

8C5=56

Propiedades básicas

  • \binom{m}{0}=1
  • \binom{m}{1}=m
  • \binom{m}{m}=1
  • \binom{m}{m-1}=m

Propiedades

  • \binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}
  • \binom{m}{n}+\binom{m}{n+1}=\binom{m+1}{n+1}

Demuestren las propiedades aplicando la definición de número combinatorio.

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Factorial

Definición

El factorial es una función

!: \mathbb{N}_{0}\rightarrow \mathbb{N}

definida por:

0!=0
1!=1

Si n>1

n!=n.(n-1)!

 

Propiedad

El factorial de un número n>1 es el producto de n primeros números naturales.

n!=n.(n-1).(n-2). ... .2.1

 

Ejemplos

4!=4.3.2.1=24

7!=7.6.5.4.3.2.1=5040

\frac{100!}{98!}=\frac{100.99.98!}{98!}=100.99=9900

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