Archivo de marzo, 2012


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probl_01

Problemas de la velocidad y la tangente 1

Problema 1

Un tanque contiene 1000 galones de agua que salen por el fondo del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua restante en el tanque (en galones) al cabo de t minutos.

t (min) 5 10 15 20 25 30
V (gal) 694 444 250 111 28 0

a) Si P es el punto (15,250) en la gráfica de V hallar la pendiente de las rectas secantes PQ cuando Q es un punto en la gráfica con t=5, 10, 20, 25, 30.

b) Estimar la pendiente de la recta tangente en P como el promedio de pendiente de dos secantes.

c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P (esta pendiente representa la velocidad del flujo de agua a la salida del tanque a los quince minutos).

Respuestas:

a) Tabla realizada en Excel

pendiente de PQ = \frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}

Observamos como el programa no puede calcular la pendiente cuando Q coinicide con P.

La fórmula usada en la casilla C2 es:

b) Calcularemos el promedio de las pendientes en los puntos t = 10 y t = 20.

\frac{(-38,8)+(-27,8)}{2}=-33,3

c) Gráfica realizada en GeoGebra.

Los puntos de la tabla son los extremos de los segmentos rojos.

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curva_parametrica_01

Curva paramétrica

Supongamos que queremos representar en el plano curvas como las que muestran las siguientes imágenes.

Vemos que no podríamos representarlas como funciones, dado que no cumplirían con la unicidad requerida en la definición de función.

Para solucionar ese problema vamos a definir las coordenadas (x,y) de los puntos de la curvas como funciones dependientes de una tercera variable, t, que llamaremos parámetro.

(x,y)=(x(t),y(t))

 

 

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Astroide

Astroide

Ecuación:

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}

Ecuación Paramétrica

x=a.Cos^{\frac{2}{3}}(t); y=a.Sin^{\frac{2}{3}}(t)

Su nombre proviene del griego “estrella”.

Es una curva plana de cuatro vértices.

 

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limites_01

Límites: Ejercicios

1) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

a) Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=

b) Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=

c) Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=

d) Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=

e) Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=

f) f(-1)=

2) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

 

 

a) Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=

b) Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=

c) Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=

d) Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=

e) Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=

f) Lim_{x \rightarrow +1^{+} }f(x)=

g) Lim_{x \rightarrow +1^{-} }f(x)=

h) Lim_{x \rightarrow +1 }f(x)=

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100px-Percent_18e.svg

Porcentaje

 

El porcentaje es la forma que tenemos de representar a la razón entre un número y 100. Se lo representa escribiendo un número seguido del símbolo %.

37\%=\frac{37}{100}=0,37

Si queremos calcular el 37% de $2500, lo único que debemos hacer es multiplicar $2500 por alguna de las representaciones del 37%.

2500.37\%

2500.\frac{37}{100}

2500.0,37

En cualquier caso la respuesta es siempre la misma. El 37% de $2500 es $925.

Encuentren:

  • El 15% de 3200 m.
    3200m . 0,15 = 480 m
  • El 22% de $4800.
    $4800 . 0,22 = $1056
  • El 3% de 350 Kg.
    350 Kg . 0,03 = 10,5 Kg
  • El 120% de 280 h.
    280 h . 1,20 = 336 h

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Ejercicios de sistemas de numeración y operaciones combinadas

  1. Realicen la descomposición polinómica de los siguientes números:
    a) 45.007
    b) 1.200.360
    c) 800.900.301
  2. Escriban los siguientes números en palabras:
    a) 405.300
    b) 10.073
    c) 30.004.210
  3. Expresen los siguientes números en el sistema romano:
    a) 749
    b) 3.923
    c) 12.384
  4. Expresen los siguientes números en el sistema de numeración decimal:
    a) MMCDLXIV
    b) CMLIX
    c) MMMCMXCVII
  5. Apliquen la propiedad distributiva y luego resuelvan:
    a) 4.(12+5-6)=
    b) (12-5+9).3=
    c) (120+72):6=
  6. ¿En qué caso la división no es distributiva con respecto a la suma y a la resta?
  7. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, paso a paso:
    a) (7+3.6).4-(4.6-80:10)=
    b) (12-5.2).(20-8:2.4)=
    c) 121:(10+1)+(7+2).(15-6)-12:2.6=

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