Archivo de junio, 2012

Arthur_Cayley

Matemáticos

René Descartes1596 – 1650

Filósofo, matemático y físico francés

Leonhard Euler – (1707 – 1783) – Matemático y Físico suizo
Arthur Cayley (1821-1895) Matemático británico

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Ejercicios sobre sobre puntos, vectores y rectas

  1. Calcular la distancia entre el punto P(1,4) y Q(-3,2).
  2. Si P(x,0) y Q(2,5) y la distancia (P,Q)=5√2. Calcular x.
  3. Determinar si A(1,7), B(0,3) Y C(-2,-5) estan en la misma recta.
  4. Demostrar que (1,2), (4,7), (-6,13) y (-9,8) son los vertices de un rectángulo.
  5. Calcular todos los posibles valores de k para que (5,8), (-4,11) y (2,k) sean los vertices de un triángulo rectángulo.
  6. Encontrar la ecuación de la paralela a x + 3y – 1 = 0 que pasa por el punto (1,2).
  7. Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a la que pasa por los puntos (3,1) y (5,4). La perpendicular pasa por el origen.
  8. Encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2,-4) y tiene pendiente -2.
  9. Encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto (4,-2) y tiene pendiente 0.
  10. Encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1,o) sin pendiente.
  11. Encontrar la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A en el triángulo ABC,  A(1,4), B(3,0) y C(-1,-2).
  12. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento PQ, P(2,5) y Q(4,-1).
  13. Determinar el centro y el radio de una circunferencia que pasa por los puntos (1,3), (4,-6) y (-3,1).
  14. Se sabe que el agua se congela a 0°C o 32°F, y que hierve a 100°C o 212°F. También que la relación entre la temperatura, expresada en grados Celsius (C), y en grados Fahrenheit (F), es lineal. Encontrar esa relación.
  15. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las dos circunferencias siguientes:
    x^2+y^2+2x-19=0
    x^2+y^2-10x-12y+41=0
  16. Encontrar la ecuación de una recta que tiene abscisa al origen -1 y ordenada al origen 3.
  17. Encontrar la ecuación de una recta que tiene abscisa al origen 2 y ordenada al origen 1/2.
  18. Encontrar la ecuación de una recta que tiene abscisa al origen 2 y sin ordenada al origen.
  19. Encontrar la ecuación de una recta paralela a 2x – 5y + 1 = 0, que contenga al punto (2,3).
  20. Encontrar la ecuación de una recta perpendicular a x + 2y – 5 = 0, que contenga al punto (4,1).
  21. La cantidad que los consumidores están dispuestos a comprar de cierto artículo, a determinado precio, es la demanda de ese artículo, que corresponde al precio dado; la relación entre el precio y la demanda se llama ecuación de la demanda. de la misma manera, la cantidad de artículos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer a la venta a determinado precio se llama la oferta correspondiente al precio dado, y la relación entre el precio y la oferta se llama ecuación de la oferta. Existe equilibrio de mercado cuando la oferta y la demanda son iguales. Las ecuaciones de la demanda y de la oferta para determinado artículo son
    2p + x – 100=0
    y
    p – x + 10 = 0,
    respectivamente, en donde p es el precio del artículo y x es su oferta o su demanda. ¿A que precio habrá equilibrio de mercado? Grafica ambas ecuaciones son p sobre el eje vertical. ¿Qué sucede con la demanda la aumentar el precio? ¿Qué ocurre con la oferta al aumentar el precio?
  22. A la empresa Zapatos Finos le cuesta $9500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares $12250. Suponiendo que el costo es función lineal de la cantidad fabricada, determina el costo en función de la cantidad fabricada. Interpreta las constantes en tu resultado.
  23.  La presión en el interior de un recipiente con vacío parcial se mide con un manómetro de extremo abierto. Este aparato mide la diferencia entre la presión del recipiente y la presión atmosférica. Se sabe que una diferencia de 0 mm de mercurio corresponde a una presión de una atmósfera, y que si la presión dentro del recipiente se redujera a 0 atmósferas se observaría una diferencia de 760 mm de mercurio. Suponiendo que la diferencia D en mm de mercurio, y la presión P, en atmósferas, se relacionan mediante una función lineal, determina esa función.
  24. El índice de precios al consumidor era 38,8 en 1970, y 113,6 en 1987. Si suponemos que este índice está relacionado con el tiempo, deduce una ecuación que relacione el índice con el tiempo, expresado en años, después de 1970. ¿Qué índices de precios al consumidor se pronostica para 1980? (El valor real fue 82,4)

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Ecuaciones de la recta

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Más ejercicios con Geogebra

Algunos ejercicios para realizar con GeoGebra:

  1. A partir de una circunferencia c y de un punto exterior A, trazar la circunferencia que tiene centro el en punto A y es tangente a la circunferencia c.
  2. Dada una circunferencia de centro O, dibujar un triángulo equilátero cuyos vértices sean O y dos puntos de la circunferencia.
  3. En cuadrilátero de vértices ABCD:
    a) Dibujar el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD.
    b) Construir el cuadrilátero que tiene como puntos medios de sus lados los puntos A, B, C y D.

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Ecuación Vectorial de la Recta en GeoGebra

La ecuación vectorial de una recta depende de dos parámetros: un punto P y un vector AB.

  • El punto P nos dice por donde pasa la recta.
  • El vector AB nos da la dirección de la recta.

  • Si mueven el punto P la recta cambia de posición pero conserva la dirección del vector.
  • Si mueven el vector, la recta permanece inalterable, el vector conserva su dirección, sentido y longitud.
  • Si mueven el origen A o el extremo B del vector, en ese caso, cambia la dirección del vector y eso modifica la dirección de la recta.

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recta_segmentaria

Ecuación segmentaria de una recta

Si tenemos una recta que pasa por los puntos (a,0) y (0,b)

a recibe el nombre de abscisa al origen y ordenada al origen.

Usando la ecuación de una recta que pasa por dos puntos tenemos:

y-0 = m.(x-a)

m = \frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}

Luego

y = \displaystyle \frac{b}{a}.(x-a)

y = - \displaystyle \frac{b}{a}.x + b

\displaystyle \frac{b}{a} .x +y = b

Dividiendo ambos miembros de la ecuación por b nos queda:

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Teniendo la intersección de la recta con los ejes coordenados es muy sencillo obtener la ecuación segmentaria y teniendo la ecuación segmentaria es simple graficarla.

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recta_2

Recta que pasa por dos puntos

La ecuación de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

y-y_1 = \displaystyle \frac{y_2 - y_1 }{x_2 - x_1}.(x-x_1)

Si tenemos en cuenta la ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene pendiente m, podemos calcular la pendiente m a partir de las coordenadas de los dos puntos.

m= \displaystyle \frac{y_2 - y_1 }{x_2 - x_1 }

Entonces tenemos:

y-y_1 = m.(x-x_1) = \displaystyle \frac{y_2 - y_1 }{x_2 - x_1 }.(x-x_1)

  • Esta ecuación no se ajusta a una recta vertical.

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Pendiente de una recta en GeoGebra

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recta_1

Ecuación de la recta que pasa por un punto P y tiene pendiente m

La ecuación de una recta tiene pendiente m y pasa por el punto P(x_{1},y_{1}) es:

y-y_{1}=m.(x-x_1 )

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo x, por lo tanto la pendiente es:

m=\displaystyle \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}

(x \ne x_1)

de ahí obtenemos que:

y-y_{1}=m.(x-x_1 )

En la formula de m x debe ser distinto de x_1, de igual manera observemos que el punto P satisface la ecuación de la recta dada.

Supongamos que el punto (x_2,y_2) satisface la ecuación:

Si x_1 = x_2, entonces y_1=y_2 y el punto está en la recta.

Si x_1 \ne x_2, entonces la pendiente entre los puntos es m y el punto pertenece a la recta, porque la recta que pasa por P y tiene pendiente m es única.

  •  Si la pendiente es cero la recta es horizontal.
  •  Observemos que la ecuación no puede representar rectas verticales.

 

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Plano Cartesiano

El plano

La relación entre el álgebra y la geometría se forma asignando números  a puntos, por ejemplo a una recta se le asignan los números reales. Seleccionamos dos puntos de la recta O y P, a O lo llamamos origen de la recta y le asignamos el cero, al punto P le asignamos el número 1, la distancia entre O y P se llama unidad, a todos los puntos de la semirrecta OP se le asigna un número positivo x, su distancia al origen. A un punto en la semirrecta opuesta se le asigna un número negativo –x, si su distancia a O es x.

De este modo se establece una escala a la cual llamaremos eje coordenado. Al número que se le asigna a cada punto se lo llama coordenada del punto.

Los puntos en un plano se pueden representar por un par de números. El sistema que usamos para este caso recibe el nombre de sistema de coordenadas cartesianas, que consiste en dos ejes coordenados perpendiculares, uno horizontal llamado eje x o de las abscisas y el otro eje vertical llamado eje y o de las ordenadas, ambos ejes tienen la misma escala y el sentido positivo se toma hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el eje y.

De esta manera podemos ubicar cualquier punto del plano a partir de un par de números reales (x,y) donde el primero representa la abscisa (proyección perpendicular del punto sobre el eje x) y el la ordenada y (proyección del punto sobre el eje y).

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