Archivo de agosto, 2012

Ejercicio_07

Ejercicios de Geometría Analítica

A partir del siguiente gráfico.

a)   Encuentre la ecuación de la elipse.

A partir de los datos del gráfico

Semieje menor a=2

Semieje mayor b=3

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

b)   Encuentren las coordenadas de los focos.

Debido a que los focos se encuentran sobre el eje y.

c^2=b^2-a^2

c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=\pm 2,2

Las coordenadas de los focos:

F=(0;2,2)

F'=(0;-2,2)

c)   Encuentren analíticamente los puntos de intersección con la recta y=2.

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

Sustituyendo y=2

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{4}{9}=1

\displaystyle \frac{x^2}{4}=1-\frac{4}{9}

\displaystyle \frac{x^2}{4}=\frac{5}{9}

\displaystyle x=\sqrt{\frac{20}{9}}

x=\pm 1,5

Los puntos de intersección

(1,5;2)

(-1,5;2)

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Ejercicio_06

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada una circunferencia con centro en (2,-3) y que pasa por el punto (2,1).

a)  Hallen el radio de la circunferencia.

r=d(C,P)

r=\sqrt{(2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{16}=4

b)  Encuentren su ecuación.

(x-2)^2+(y+3)^2=16

c)  Encuentren analíticamente la intersección entre la circunferencia y el eje x.

En el eje x tenemos que y=0

(x-2)^2+(0+3)^2=16

(x-2)^2 + 9 = 16

(x-2)^2 = 7

x=2 \pm \sqrt{7}

x=+4,6

x=-0,6

Por lo tanto los puntos de intersección son:

(4,6;0)

(-0,6;0)

 

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Ejercicio_05

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la circunferencia  (x+2)^2+(y-1)^2=4  y la recta y=x-3

a)  Representen gráficamente la circunferencia y la recta.

La circunferencia tiene centro (-2,1) y radio 2

La recta tiene ordenada al origen -3 y pendiente 1.

b)  Encuentren analíticamente la intersección entre ambas.

Sustituyendo y=x-3

en (x+2)^2+(y-1)^2=4

tenemos

(x+2)^2+(x-3-1)^2=4

(x+2)^2+(x-4)^2=4

x^2+4x+4+x^2-8x+16-4=0

2x^2-4x+16=0

Usando la fórmula resolvente de una ecuación cuadrática

\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{16-4.2.16}}{4}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{-112}}{4}

Como la raíz tiene radicando negativo los valores de x no son números reales.

En conclusión la circunferencia y la recta no tienen intersección.

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Ejercicio_04

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la recta 2x + 3y – 4 = 0

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Solución

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

y=0

2x+3y-4=0

2x+3.0-4=0

2x-4=0

x=2

(2,0)

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

Una de las posibles respuestas

2x+3y-4=0

y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}

Una recta paralela tiene la misma pendiente

y=-\frac{2}{3}x+b

Como debe pasar por (5,4)

4=-\frac{2}{3}.5+b

b=\frac{22}{3}

Por lo tanto

\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{22}{3}

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Una recta paralela tiene pendiente opuesta e inversa.

y=\frac{3}{2}x+b

y como pasa por el origen del sistema b=0

Por lo tanto

y=\frac{3}{2}x

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Ejercicio_01

Ejercicios de Geometría Analítica

Dados los puntos A(1,3) y B(-3,4)

a)  Hallar las componentes del vector AB.

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

e) Encontrar la pendiente de la recta.

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

Solución

a) Hallar las componentes del vector AB.

Analíticamente

\vec{AB}=B-A=(-3.4)-(1,3)=(-4,1)

Gráficamente

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

Comenzamos por la ecuación vectorial:

(x,y)=(1,3)+(-4,1).t

Ahora la paramétrica

x=1-4t
y=3+t

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

Analíticamente

Intersección con el eje x

y=0

y=3+t \Rightarrow 0=3+t

t=-3

x=1-4t \Rightarrow x=1-4.(-3)

x=13

(13,0)

Intersección con el eje y

x=0

x=1-4t \Rightarrow 0=1-4.t

t=0,25

y=3+t \Rightarrow y=3+0,25

y=3,35

(0;3,25)

Gráficamente

e) Encontrar la pendiente de la recta.

A partir de las componentes del vector

\vec{AB}=(-4,1)

\displaystyle m=\frac{1}{-4}

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

P=(x,y)

PA=PB

\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}

(x-1)^2+(y-3)^2=(x+3)^2+(y-4)^2

x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2+6x+9+y^2-8y+16

-2x-6y+10=6x-8y+25

8x-2y+15=0

 

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thales_02

Corolario 2 del Teorema de Thales

Teorema:

La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

\displaystyle \frac{a}{p}=\frac{b}{q}

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thales_01

Corolario del Teorema de Thales

Teorema:

Toda recta paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

Si la recta PQ es paralela al lado BC, entonces:

\displaystyle \frac{AP}{PC}=\frac{AQ}{QC}

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triangulos

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia la relación entre los lados y ángulos de un triángulo.
Las aplicaciones de la trigonometría tiene múltiples:

  • En astronomía
  • En cartografía
  • En artillería
  • En navegación marítima
  • En la navegación satelital

El estudio de la trigonometría abarca los siguientes aspectos

  • Las razones trigonométricas
  • La resolución de triángulos rectángulos
  • Las razones trigonométricas de un ángulo
  • Las funciones trigonométricas
  • La resolución de triángulos oblicuángulos
  • Las identidades trigonométricas
  • La trigonometría esférica

Cuando tenemos que medir la altura de la puerta no dudamos en tomar una cinta métrica y medir de manera directa la longitud en cuestión, pero si nos piden que midamos al área de la pared no buscamos cuadrados para cubrir la superficie de la misma. Normalmente medimos el ancho y la altura de pared para que de forma indirecta, usando la conocida fórmula de base x altura, encontremos el área buscada.

La medición indirecta es un proceso para determinar medidas conocidas a partir de otras medidas conocidas, en la antiguedad fue muy utilizada por los griegos para medir el radio de la Tierra, la superficie de ésta, su distancia al sol y a las estrellas. Todas estas medidas fueron realizadas de forma indirecta mediante fórmulas especiales y del razonamiento deductivo.

Los griegos de Alejandría, entre los años 300 y 200 a.C, contribuyeron de manera sustancial al arte de la medición indirecta creando fórmulas para encontrar áreas, volúmenes y longitudes. Fue durante la primera para parte de este período que nació la trigonometría.

El significado etimológico de la palabra trigonometría es “medición de triángulos”, hoy se la considera como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Bibliografía utilizada: Matemática 2 - Miguel de Guzmán (Anaya) Trigonometría Analítica con aplicaciones - Barnett (Thompson)

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teorema_thales

Teorema de Thales

  • Las rectas p, q y r son paralelas.
  • Las rectas t y se llaman transversales.
  • El segmento a que está en la transversal t y tiene extremos A y B, se encuentra entre las paralelas p y q, su correspondiente en la otra transversal t’ está determinado por las mismas rectas paralelas, dicho segmento es c con extremos en D y E.
  • El correspondiente del segmento AB es el segmento DE.
    El correspondiente del segmento BC es el segmento EF.
    El correspondiente del segmento AC es el segmento DF.

Teorema:
Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra transversal.
\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Las proporciones que se pueden formar a partir del teorema son varias, algunos ejemplos:
\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}
\displaystyle \frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}
\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}

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Repaso de conceptos básicos y fundamentales

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