Archivo de diciembre, 2012

Propiedades de los límites

Algunas propiedades de los límites:

  • Sea a_n una sucesión tal que
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_1
    y
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_2
    donde l_1 y l_2 son números reales. Entonces:
    l_1=l_2
  • Toda sucesión convergente es acotada.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si l>b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n>b.
    b) Si l<b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n<b.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si a_n > b, para todo n \geq n_0, entonces l \geq b.
    a) Si a_n < b, para todo n \geq n_0, entonces l \leq b.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes con el mismo límite l y sea c_n una sucesión tal que:
    a_n \leq c_n \leq b_n para todo n \in N
    Entonces c_n es convergente y su límite es l.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n + b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} + \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n . b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} . \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n \slash b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} \slash \lim_{n \to \infty} {b_n}

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Límite de una sucesión

Se dice que una sucesión (a_n)_{n \in N} tiene limite l, o converge a l, en símbolos:
\lim_{n \to \infty} {a_n}=l

si se cumple la siguiente propiedad:

Cualquiera sea el número real \epsilon > 0, hay un número natural n_0 tal que, para cada n \geq n_0, se verifica que |a_n-l|<\epsilon.

Ejemplo:

Consideremos la sucesión dada por a_n=\frac{1}{n}.

1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},....

Afirmamos que:

\lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}=0

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Sucesión

Una sucesión (de números reales) es un función que consiste en asignarle a cada número natural n, un numero real que indicamos a_n.

1\to a_1

2 \to a_2

3 \to a_3

...

n \to a_n

...

De ésta manera una sucesión queda de la forma:

a_1,a_2,a_3,...,a_n,...

Ejemplo:

A cada número natural n le podemos asignar su cuadrado n^2.

tenemos la sucesión dada por:

a_n=n^2

o sea:

1,4,9,16,25, 36,...,n^2,...

Una sucesión (de números reales) es una función a:N \to R donde a_n=a(n).

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Series

Sea

u_1,u_2,u_3,...

una sucesión.

Formamos una nueva sucesión

S_1,S_2,S_3,...

con

S_1=u_1
S_2=u_1+u_2

S_3=u_1+u_2+u_3
...
S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

...

Al término S_n lo llamaremos suma parcial n-ésima.

Se llama serie a la sucesión

S_1,S_2,S_3,...

y se simboliza por

u_1+u_2+u_3+...=\sum_{i=1}^\infty {u_n}

Es decir, una serie, es la sucesión de suma parciales de una sucesión.

Si existe

\lim_{x \to\infty}{S_n}=S

la llamamos serie convergente, y S es su suma.

En caso contrario se llama serie divergente.

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forma_polar

Forma polar de un número complejo

Dijimos que un número complejo se representa gráficamente en un plano complejo mediante un punto.

Si z=a+bi

el punto en cuestión es (a,b).

forma_polar

Con un poco de trigonometría tenemos:

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

a=r.Cos(\phi)

b=r.Sen(\phi)

r recibe el nombre de valor absoluto o módulo de z, |z|.

\phi es la amplitud o argumento de z, Arg(z), es el ángulo que forma el semieje positivo de las x, con el segmento que une el origen con el punto (a,b).

Se deduce que:

z=a+bi=r.(Cos(\phi)+i.Sen(\phi))

está expresión es llamada forma polar del número complejo y r  y \phi son sus coordenadas polares.

Para cualquier número complejo z \neq 0 corresponde solamente un valor de \phi en 0\leq \phi \leq 2\pi. No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2\pi, por ejemplo -\pi \leq \phi \leq \pi, se puede emplear. Cualquier elección tomada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de \phi se llama su valor principal.

 

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Complejo conjugado

Dado un número complejo

z=a+bi

Se llama complejo conjugado al número

 \overline{z}=a-bi

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Números Complejos

SI tenemos la ecuación

x^2+1=0

no hay números reales que sean solución, dado que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o cero.

Para que podamos resolver este tipo de ecuaciones fue necesario introducir los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma

a+bi

donde a,b \in R

i recibe el nombre de unidad imaginaria y tiene la siguiente propiedad i^2=-1

Si z=a+bi

a recibe el nombre de parte real de z, Re(z).

b recibe el nombre de parte imaginaria de z, Im(z).

Dos números complejos a+bi y c+di son iguales, si y sólo si a=c y b=d.

Si a=0 el número complejo 0+bi recibe el nombre de imaginario puro.

Si b=0 el número complejo a+0i representa al número real a.

-.-.-.-

 

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plano_complejo_03

Representación gráfica de complejos – 006

Si z_1 y z_2 son dos números complejos (vectores) como en la figura, construir gráficamente:

  • 3z_1-2z_2
  • \frac{1}{2}z_2+\frac{5}{3}z_1

plano_complejo_03

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Representación gráfica de complejos – 005

Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y gráfica.

a) (3+4i) + (5+2i) =

b) (6-2i) – (2-5i) =

c) (-3+5i) + (4+2i) + (5-3i) + (-4-6i) =

 

 

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