Archivo de marzo, 2013


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tp3-ejer20-a

Ejercicio 20 – TP3

Expresar las ecuaciones de las parábolas, sabiendo que:

a) F(4,0)

tp3-ejer20-a

b) F(-5,0)

tp3-ejer20-b

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tp3-ejer19-a

Ejercicio 19 – TP3

Para cada una de las siguientes parábolas indicar:

  • Longitud del parámetro p
  • Coordenadas del foco
  • Ecuación de la directriz
  • Trazar un esquema de la curva

a) y^2=4x

y^2=4px

Igualando

4px=4x

Parámetro p

p=1

Foco

F=(p,0)=(1,0)

Directriz

x=-p
x=-1

tp3-ejer19-a

\\

b) y^2=-6x

y^2=-4px

Igualando

-4px=6x

Parámetro p

p=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}

Foco

F=(0,-p)=(0,-\frac{3}{2})

Directriz

x=-p
x=-1

tp3-ejer19-b

c) \displaystyle y^2=\frac{1}{2}x

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Ejercicio 18 – TP3

Para cada una de las siguientes hipérbolas indicar:

  • La posición
  • La longitud del eje transversal
  • La longitud del eje conjugado
  • Coordenadas de los focos
  • Ecuaciones de las asíntotas
  • Trazar un esquema de la curva

a) \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

c) \displaystyle \frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{9}=1

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Ejercicio 17 – TP3

Cada una de las siguientes elipses esta en su posición ordinaria y tienen su centro en el origen. Expresar la ecuación correspondiente en cada caso:

a) Un vértice en (6,0) y un extremo del eje menor (0,2)

b) Un vértice en (-5,0) y un foco en (-2,0)

c) Un extremo del eje menor en (-4,0) y un foco en (0,1).

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tp3-ejer16-a

Ejercicio 16 – TP3

Para cada una de las siguientes elipses indicar:

  • Longitud del eje mayor
  • Longitud del eje menor
  • Coordenadas de los focos
  • Trazar un esquema de la curva

a) \displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1

c) 3x^2+y^2=3

Ver Elementos de la Elipse

\\

a) \displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1

a^2=100 \Rightarrow a=10

b^2=36 \Rightarrow b=6

c=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8

  • Eje mayor = 2a = 20
  • Eje menor = 2b = 12
  • F=(8,0) y F’=(-8,0)
  • tp3-ejer16-a

\\

 

b) \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1

a^2=9 \Rightarrow a=3

b^2=16 \Rightarrow b=4

c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}

  • Eje mayor = 2b = 8
  • Eje menor = 2a = 6
  • F=(0,\sqrt{7});F'(0,-\sqrt{7})
  • tp3-ejer16-b

\\

c) 3x^2+y^2=3

\displaystyle \frac{3x^2+y^2}{3}=\frac{3}{3}

\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}=1

a^2=1 \Rightarrow a=1

b^2=3 \Rightarrow b=\sqrt{3}

c=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}

  • Eje mayor = 2b = 2\sqrt{3}
  • Eje menor = 2a = 2
  • F(0,\sqrt{2}),F'(0,-\sqrt{2})

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Ejercicio 15 – TP3

Estudiar la posición relativa de la circunferencia x^2+y^2-4x+2y-20=0 con las rectas:

  • x+7y-20=0
  • 3x+4y-27=0
  • x+y-10=0

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tp3-ejer14-a

Ejercicio 14 – TP3

Hallar los puntos de intersección de dos circunferencias cuyas ecuaciones son

x^2+y^2-2x+4y-11=0

x^2+y^2+x+y-8=0

Lo primero que debemos hacer es igualar ambas ecuaciones:

x^2+y^2-2x+4y-11=x^2+y^2+x+y-8

-2x+4y-11=x+y-8

0=2x+x+y-4y-8+11

0=3x-3y+3

0=x-y+1

y=x+1

Reemplazamos y=x+1 en alguna de las ecuaciones de las circunferencias.

x^2+y^2+x+y-8=0

x^2+(x+1)^2+x+(x+1)-8=0

x^2+x^2+2x+1+x+x+1-8=0

2x^2+4x-6=0

x^2+2x-3=0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

\displaystyle x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}

\displaystyle x=\frac{-2\pm 4}{2}

x_1=1

x_2=-3

Tenemos dos puntos de intersección de los cuáles acabamos de encontrar sus abscisas (x), ahora buscamos las ordenadas (y).

y=x+1

y_1=1+1=2

y_2=-3+1=-2

Puntos de intersección:

P=(1,2)

Q=(-3,-2)

tp3-ejer14-a

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Ejercicio 13 – TP3

Hallar los puntos de intersección de la recta x+2y+1=0 y la circunferencia x^2+y^2+2x-4y-4=0.

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tp3-ejer12

Ejercicio 12 – TP3

Determina la ecuación de las circunferencias que pasan por los puntos p, q y r.

a) p=(2,6) q=(6,2) r=(2,-2)

Ecuación general de una circunferencia.

x^2+y^2+dx+ey+f=0

Reemplazamos la coordenada de los puntos.

4+36+2d+6e+f=0

36+4+6d+2e+f=0

4+4+2d-2e+f=0

Ahora tenemos que resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Igualamos la primera ecuación y la segunda:

40+2d+6e+f=40+6d+2e+f

-4d+4e=0

4e=4d

e=d

Igualamos la segunda ecuación y la tercera:

40+6d+2e+f=8+2d-2e+f

4d+4e=-32

d+e=-8

2d=-8

d=-4

e=-4

40+6d+2e+f=0

40+6(-4)+2(-4)+f=0

40-24-8+f=0

f=-8

La ecuación finalmente es:

x^2+y^2-4x-4y-8=0

Verificación gráfica:

tp3-ejer12

\\

b) p=(6,7) q=(7,0) r=(-2,3)

\\

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Ejercicio 11 – TP3

Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias definidas por su ecuación general.

a) x^2+y^2-8x+2y-32=0

x^2-8x+y^2+2y=32

2a=8\Rightarrow a=4

2b=2\Rightarrow b=1

x^2-8x+16+y^2+2y+1=32+16+1

(x-4)^2+(y+1)^2=7^2

C=(4,-1)

r=7

\\

b) \displaystyle x^2+y^2=\frac{4}{25}

C=(0,0)

r=\frac{2}{5}

\\

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