Archivo de agosto, 2014

Construcciones con regla y compás

Construir un triángulo ABC, conociendo:

  • El lado BC
  • El ángulo ABC
  • La altura NB


La altura NB

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TP2 – Álgebra de Boole – 11

Una fábrica tiene cuatro talleres distribuidos de tal manera que dos están hacia el oeste y los otros dos hacia el este. Cada taller dispone de un generador interno de energía. Queremos elaborar un dispositivo o circuito que emita una señal de emergencia cuando los dos generadores del este o los dos generadores del oeste dejen de funcionar.
a) Elabore una tabla de verdad asociada.
b) ¿Cuál es la función booleana que modeliza dicha situación?
c) Simplifique la función booleana usando propiedades del álgebra de Boole.
d) Simplifique la expresión usando mapas de Karnaugh.
e) ¿Cuál es el circuito lógico asociado a la simplificación anterior?

a) En este caso el 1 de las variables indica que el generador no funciona y el uno de la función indica una señal de alarma.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}</p>
<p>\hline A & B & C & D & F \\<br />
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\<br />
\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\<br />
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\<br />
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\<br />
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\<br />
\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\<br />
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\<br />
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\<br />
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\<br />
\hline<br />
\end{tabular}

También podríamos considerar que el 0 indica que el generador no funciona y el 1 de la función la señal de alarma.

En ese caso, ¿cómo sería la tabla?

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}</p>
<p>\hline A & B & C & D & S \\<br />
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & ? \\<br />
\hline 0 & 0 & 0 & 1 & ? \\<br />
\hline 0 & 0 & 1 & 0 & ? \\<br />
\hline 0 & 0 & 1 & 1 & ? \\<br />
\hline 0 & 1 & 0 & 0 & ? \\<br />
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & ? \\<br />
\hline 0 & 1 & 1 & 0 & ? \\<br />
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & ? \\<br />
\hline 1 & 0 & 0 & 0 & ? \\<br />
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & ? \\<br />
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & ? \\<br />
\hline 1 & 0 & 1 & 1 & ? \\<br />
\hline 1 & 1 & 0 & 0 & ? \\<br />
\hline 1 & 1 & 0 & 1 & ? \\<br />
\hline 1 & 1 & 1 & 0 & ? \\<br />
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & ? \\<br />
\hline<br />
\end{tabular}

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TP2 – Álgebra de Boole – 3

Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes:

  • i)  a . b' = 0
  • ii)  a + b = b
  • iii)  a'+ b = 1
  • iv)  a . b = a

Para probar las equivalencias podemos utilizar el siguiente esquema:
 i) \Rightarrow ii) \Rightarrow iii) \Rightarrow iv) \Rightarrow i)

Comencemos con
 i) \Rightarrow ii)
 a.b'=0 \Rightarrow a+b=b
 a+b=(a+b).1=(a+b).(b+b')=ab+a.b'+bb+b.b'=ab+0+b+0=(a+1).b=1.b=b

 ii)\Rightarrow iii)
 a+b=b \Rightarrow a'+b=1
 a'+b=a'+(a+b)=(a'+a)+b=1+b=1

 iii) \Rightarrow iv)
 a'+b=1 \Rightarrow a.b=a
 a.b=a.b+0=a.b+a.a'=a.(b+a')=a.1=a

 iv)\Rightarrow i)
 a.b=a \Rightarrow a.b'=0
 a.b'=(a.b).b'=a.(b.b')=a.0=0

Una equivalencia del teorema anterior la podemos encontrar en lógica proposicional:

  • i)  p \wedge -q = 0
  • ii)  p \vee q = q
  • iii)  -p \vee q = 1
  • iv)  p \wedge q = p

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ejer1-a

TP2 – Álgebra de Boole – 1

Dado el conjunto  L=\{a,b\} y  P(L) el conjunto de partes de  L probar que  (P(L),\cup, \cap) es un álgebra de Boole.

 L= \{a,b\} \Rightarrow P(L)=\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}

1) Probemos primero que  \cup y  \cap son dos leyes de composición interna en  P(L)

ejer1-a

2) La unión y la intersección de conjuntos es asociativa, por lo tanto también serán asociativas en el conjunto de partes de  L .

3) La unión y la intersección de conjuntos es conmutativa, por lo tanto también serán asociativas en el conjunto de partes de  L .

4) La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión y viceversa.

5) Existen elementos neutros.
 \emptyset es el elemento neutro para la unión.
 \forall A \in P(L): A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A
Podemos observarlo en la segunda fila y en la segunda columna de la tabla 1.

 L es el elemento neutro para la intersección.
 \forall A \in P(L): A \cap L = L \cap A = A .
Podemos observarlo en la última fila y en la última columna de la tabla 2.

6)  \emptyset \neq L

7) Todo elemento  A \in P(L) admite complementario,  A'=L-A :
ejer1-b

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Funciones Boolenas , Mapas de Karnaugh y Circuitos Lógicos

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EJER9

TP2 – Álgebra de Boole – 8

A partir de la siguiente tabla, elaborar un mapa de Karnaugh y simpli carlo.

EJER9

F=A+C

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9a

TP2 – Álgebra de Boole – 9

Construya el gráfico de compuertas correspondiente a las siguientes funciones booleanas:
a)  F = (A+B).C.(B+D)
9a

b)  F = (A.B.C) + (A+B).C
9b

c)  F = [(A.B)' + (C.D)']'

9c

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Propiedades del Álgebra de Boole

  • Principio de dualidad: Si una proposición P es derivable de los axiomas de Álgebra de Boole, entonces la proposición dual de P también lo es.
    .
  • Unicidad de los elementos neutros 0 y 1.
    i) Existe un único elemento neutro para la suma.
    ii) Existe un único elemento neutro para la multiplicación.
    .
  • Idempotencia.
    Todos los elementos de un Álgebra de Boole son idempotentes respecto a la suma y a la multiplicación. Esto es:
    i)  a \in B \Rightarrow a + a = a
    ii)  a \in B \Rightarrow a . a = a
    .
  • Identidad de los elementos 0 y 1
    i)  a \in B \Rightarrow a + 1 = 1
    ii)  a \in B \Rightarrow a . 0 = 0
    .
  • Absorción
    i)  a, b \in B \Rightarrow a + (a .b) = a
    ii)  a, b \in B \Rightarrow a . (a +b) = a
    .
  • Unicidad del complementario
    Cada elemento a de B admite un único complementario  a' de B.
    .
  • Involución
    El complementario del complementario de un elemento $ a \in B $ es $ a $. Esto es,
     a \in B \Rightarrow (a ' ) ' = a
    .
  • Leyes de De Morgan
    i)  a, b \in B \Rightarrow (a +b)' = a' . b'
    ii)  a, b \in B \Rightarrow (a . b)' = a' + b'
    .
  • Complementarios de 0 y 1
    i)  0' = 1
    ii)  1' = 0
    .
  • Cancelatividad en la multiplicación
    Si a, b y c son elementos de B, entonces se verifica que
     [ a . b = c . b \wedge a . b' = c . b' ] \Rightarrow a = c
    .
  • Especial
    i)  a, b \in B \Rightarrow a + a' . b = a + b
    ii)  a, b \in B \Rightarrow a . (a' + b) = a . b
    .

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wolframapha

WolframAlpha

http://www.wolframalpha.com/

wolframapha

Ejemplo:

 p \wedge q escribir  p \ \&\& \ q Ver

Podemos ver como resultado de la búsqueda la tabla de verdad de la conjunción, la FND y FNC de la función  f = p.q y  el circuito lógico asociado entre otra información.

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Álgebra de Boole

Sea un conjunto no vacío B y dos funciones denotadas con + y . , la terna  (B, +, .) es un Álgebra de Boole si y sólo sí:
1)  + y  . son leyes de composición interna en B.
 \forall a, b \in B: a + b \in B
 \forall a, b \in B: a . b \in B
2)  + y  . son asociativas
 \forall a, b, c \in B: a + (b + c) = (a + b) + c
 \forall a, b, c \in B: a . (b . c) = (a . b) . c
3)  + y  . son conmutativas
 \forall a, b \in B: a + b = b + a
 \forall a, b \in B: a . b = b . a
4)  + y  . son distributivas, cada una respecto de la otra
 \forall a, b, c \in B: a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
 \forall a, b, c \in B: a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
5) Existen elementos neutros en B, respecto de $ + $ y de $ . $ que se denotan con 0 y 1 respectivamente ( 1 \neq 0 )
 \exists \ 0 \in B: \forall \ a \in B: a + 0 = 0 + a = a
 \exists \ 1 \in B: \forall \ a \in B: a . 1 = 1 . a = a
6)  Todo elemento  a \in B admite un complementario  a' \in B , tal que
 \forall \ a \in B: \exists \ a' \in B: a + a' = a' + a = 1
 \forall \ a \in B: \exists \ a' \in B: a . a' = a' . a = 0

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