Dado el conjunto  L={a,b} y  P(L) el conjunto de partes de  L probar que  (P(L),cup, cap) es un álgebra de Boole.

 L= {a,b} Rightarrow P(L)={ emptyset, {a}, {b}, {a,b}}

1) Probemos primero que  cup y  cap son dos leyes de composición interna en  P(L)

ejer1-a

2) La unión y la intersección de conjuntos es asociativa, por lo tanto también serán asociativas en el conjunto de partes de  L .

3) La unión y la intersección de conjuntos es conmutativa, por lo tanto también serán asociativas en el conjunto de partes de  L .

4) La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión y viceversa.

5) Existen elementos neutros.
 emptyset es el elemento neutro para la unión.
 forall A in P(L): A cup emptyset = emptyset cup A = A
Podemos observarlo en la segunda fila y en la segunda columna de la tabla 1.

 L es el elemento neutro para la intersección.
 forall A in P(L): A cap L = L cap A = A .
Podemos observarlo en la última fila y en la última columna de la tabla 2.

6)  emptyset neq L

7) Todo elemento  A in P(L) admite complementario,  A'=L-A :
ejer1-b

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