Matemática y algo más…
Ecuaciones
Ecuaciones
De las balanzas y las pesas a las ecuaciones
1 Mar
Veamos otro ejemplo un poquito más complejo que nos ayude a expresar una situación en un lenguaje simbólico, para ser más precisos en una ecuación.
La situación inicial es la siguiente:
Expresemos la situación inicial en símbolos, lo más simple posible:
Veamos una presentación con la situación en concreto
Ahora expresemos todo en símbolos:
Situación inicial:
Restando 9 en ambos lados de la ecuación:
Restando una x en ambos lados de la ecuación:
Para quedarnos con un tercio en cada lado de la ecuación dividimos por 3:
Como un tercio de tres x es una sola x, y además 3:3 es 1, podemos escribir:
Por último verifiquemos que la solución encontrada sea la correcta:
En hora buena .
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Solución de una ecuación
28 Feb
Decimos que un valor es una solución de una ecuación si al reemplazarlo en la misma tenemos una igualdad numérica.
Ejemplo:
- En la ecuación
la solución es 
Veriquemos: 
Si hay una sola incógnita la solución obviamente se reemplaza por ella, pero si hay más de una incógnita debemos nombrar cada una.
- En la ecuación
Una solución es
Verifiquemos:
En una ecuación no siempre la ecuación es única, puede haber más de una o quizás infinitas soluciones.
- En la ecuación
Una solución es
Otra solución es
Verifiquemos:
También hay ecuaciones donde no hay solución.
- En la ecuación
no hay solución
Una explicación que podríamos dar sería: ningún número puede ser igual a sí mismo aumentado en 5.
Entonces, podemos clasificar las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones:
| Ecuaciones | Soluciones |
| Compatibles determinadas | Cantidad finita |
| Compatibles indeterminadas | Infinitas |
| Incompatibles | Sin solución |
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Ecuación
22 Feb
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las cuales por lo menos debe existir una incógnita.
Las expresiones deben contener operaciones matemáticas con números e incógnitas.
La o las incógnitas se representan con letras, normalmente se utiliza un letra x pero no es una regla.
Ejemplos de ecuaciones:
Hagamos algunas consideraciones acerca de los ejemplos:
- Las ecuaciones 1 a 7 tienen una incógnita, la ecuación 8 tiene dos incógnitas.
- Las ecuaciones 2, 3 y 5 tienen una incógnita que aparece más de una vez en la ecuación, el valor de la incógnita es el mismo en toda la ecuación.
- Las tres primeras ecuaciones y la última reciben el nombre de ecuaciones lineales, las incógnitas solo intervienen en las operaciones de suma, resta y multiplicación por un número.
- La ecuación 4 recibe el nombre de ecuación cuadrática y la 5 el nombre de ecuación cúbica, los nombres se derivan de los exponentes de las incógnitas.
- La ecuación 6 recibe el nombre de ecuación racional, dado que la incógnita aparece en el denominador de una fracción o también podríamos decir como divisor en una división.
- La ecuación 7 recibe el nombre de ecuación irracional, dado que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.
Respondan:
¿Por qué la expresión 
no es una ecuación?
¿Por qué la expresión 
tampoco es una ecuación?
Ver también:
Solución de una ecuación
Resolución de una ecuación
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Ecuaciones con balanzas y pesas
21 Feb
Supongamos que tenemos la siguiente balanza con platillos:
Algunas consideraciones gráficas:
- El dibujo tiene solo dos dimensiones por una cuestión práctica y para trabajar de manera sencilla.
- La horizontalidad de los platillos en el mismo nivel representará el equilibrio, es decir los objetos del platillo izquierdo pesarán lo mismo que los del derecho.
- Los círculos representan pesas.
- El cuadrado rojo representa una caja.
Las pesas verdes tienen el mismo peso, en este ejemplo 1kg.
Las pesas anaranjadas tienen el mismo peso, en este ejemplo 3 kg.
El peso de la caja roja es desconocido.
Pregunta: ¿Cuánto pesa la caja roja?
Si nos tomamos un minuto para razonar tendremos la respuesta de forma inmediata.
¿Cómo podríamos ayudar a alguien más pequeño a encontrar el peso de la caja roja?
Quizás podemos darles la siguiente ayuda:
- Si sacamos un pesa de un platillo la balanza se desequilibra.
- Para lograr nuevamente el equilibrio debemos sacar una pesa del mismo color del otro platillo.
- Hay que repetir los pasos hasta que en el platillo de la izquierda quede solo la caja roja.
- El peso de la caja roja será la suma de las pesos (de las pesas) que se encuentran en el platillo de derecha.
¿Es suficiente la ayuda que dimos? ¿O es demasiada?
Después de sacar tres pesas verdes y una anaranjada de cada platillo nos queda:
Ahora parece fácil responder cuando pesa la caja roja.
La caja roja pesa 4 Kg.
¿Cómo podríamos escribir en símbolos nuestra forma de razonar sin tener que dibujar las balanzas?
Parece que una opción es traducir cada paso en nuestro razonamiento con símbolos matemáticos (números, operaciones, igualdad, etc.).
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De las balanzas y las pesas al lenguaje simbólico
21 Feb
La situación que habíamos presentado en ecuaciones con balanzas y pesas, era la siguiente:
¿Cómo expresar la situación, con cada uno de sus pasos, de manera simbólica?
Primero tendríamos que nombrar los objetos que aparecen con símbolos que los representen.
Veamos que tenemos en el platillo de la izquierda: la pesa desconocida, tres pesas verdes y una anaranjada; en el platillo de la derecha: dos pesas anaranjadas y cuatros pesas verdes.
Pero que característica de las pesas nos interesa, no es la forma, no es el color, es el peso y todo lo que tenemos a la izquierda pesa igual que lo que está a la derecha.
Para saber el peso total de un platillo tenemos que sumar los pesas de cada una de las pesas, es decir, tenemos que usar el símbolo “+”.
El equilibrio del platillo representa la igualdad de pesos, representaremos dicho equilibrio con el signo “=”.
Veamos como nos queda la situación inicial en símbolos:
Resolviendo las sumas simplificamos la expresión y nos queda:
Veamos la presentación teniendo en cuenta cada movimiento que hacemos en las pesas como se traduce en símbolos.
Todavía nos falta ordenar todo lo que escribimos en símbolos, podemos resumirlo así:
Podemos aún ser muchos más claros y dejar la expresión simbólica más simple.
Antes de trabajar solos pueden ver otro ejemplo: http://www.roberprof.com/2010/03/01/de-las-balanzas-y-las-pesas-a-las-ecuaciones
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