Números naturales

Números naturales

exponente

Exponente

El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Nicolás Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, lo colocaba directamente en el coeficiente, de modo que 5x^2, lo escribía como 5^2. En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así x^2,  lo escribía como x^{II}. Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indo arábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizara la notación elevada, sino que siguiera escribiendo, como muchos hasta entonces x^2,  como xx. Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos  xx (x^2) o  xxx(x^3) sólo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso nosotros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos que estamos elevando  “al cuadrado”, aunque no pensemos en absoluto en calcular el área de un cuadrado de lado.

Fuente: Matemáticas Simplificadas – CONAMAT 

El exponente es el número de una potenciación indica la cantidad de veces que debe multiplicarse la base.

exponente

Ejemplos:

2^5=2.2.2.2.2=32
3^4=3.3.3.3=81

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¿Cómo resolver una operación combinada?

Una explicación acerca de como resolver una operación combinada con números naturales.

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numeros_naturales

Repaso Números Naturales

  1. Escriban el número que le corresponde a cada descomposición polinómica:
    a) 4.10^5+6.10^3-9.10^0
    b) 1.10^6+2.10^4+6.10^1
  2. Expresen estos números romanos en el sistema decimal:
    a) MDCXLIX
    b) DCXXXII
    c) \overline{XI}CCCXIV
    d) LXVI
  3. Conviertan en números romanos:
    a) 769
    b) 12504
    c) 3120
    d) 98
  4. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva:
    a) 5.(12+4-6)=
    b) (21-17+3).4=
    c) (18+42-30):6=
  5. Comprueben que en la siguiente operación combinada no se puede distribuir.
    12:(2+4)=
  6. Completen con los números que faltan en cada caso:
    a) 5.(......+9)=70
    b) (121-...):11=9
  7. Calculen las siguientes potencias:
    a) 2^{11}=
    b) 3^7=
    c) 12^0=
    d) 28^1=
  8. Calculen las siguientes raíces:
    a) \sqrt{961}
    b) \sqrt[3]{1728}
    c) \sqrt[7]{2187}
    d) \sqrt{1}
    e) \sqrt[3]{0}
  9. Respondan:
    a) ¿Qué pregunta deberían realizar para resolver \sqrt[4]{81}?
    b) ¿Qué pregunta deberían realizar para resolver \sqrt[5]{32}?
    c) n^0=1 para cualquier número excepto para uno, ¿cuál?
  10. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación:
    a) a^3.a^4=
    b) b^7:b^2=
    c) c^5.c:c^3=
    d) 4.d^0=
    e) (e^3)^2=
  11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas:
    a) 4.3^2-\sqrt{4+5.12}+(3^4+3):\sqrt{16}=
    b) 14^2:28+\sqrt[5]{6^3+9.3}+(7+9.9):8=
  12. Sabiendo que n representa a cualquier número natural, representen los siguientes enunciados en notación simbólica:
    a) El siguiente de un número.
    b) El anterior de un número.
    c) El doble de un número.
    d) El triple de un número.
    e) El cuádruple de un número.
    f) La mitad de un número.
    g) La tercera parte de un número.
    h) La cuarta parte de un número.
    i) El cuadrado de un número.
    j) El cubo de un número.
    k) El cuadrado del siguiente de un número.
    l) El siguiente del cuadrado de un número.
    m) El triple del anterior de un número.
    n) El anterior del triple de un número.
    o) La suma entre un número y su siguiente.
    p) El producto entre un número y su anterior.
    q) El cociente entre el cubo de un número y su cuadrado.
  13. ¿Cuál de las siguientes expresiones es una ecuación? ¿Por qué?
    a) 3+12=15
    b) 2x+4x
    c) 3x+1=16
  14. ¿Qué es resolver una ecuación?
  15. Resuelvan las siguientes ecuaciones:
    a) 2x+3=37
    b) a:4-5=7
    c) 49=3m-2
    d) 12=p:7+10
    e) 3x+7x-23=77
    f) 50=9m+12-7m
    g) 5(a+6)+12=67
    h) 17=(8b+12):4
    i) 3(w+3)+5(w-4)=69
    j) 7x+16=5x+68
    k) 9(m+7)-3m=4m+153

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Ejercicios de sistemas de numeración y operaciones combinadas

  1. Realicen la descomposición polinómica de los siguientes números:
    a) 45.007
    b) 1.200.360
    c) 800.900.301
  2. Escriban los siguientes números en palabras:
    a) 405.300
    b) 10.073
    c) 30.004.210
  3. Expresen los siguientes números en el sistema romano:
    a) 749
    b) 3.923
    c) 12.384
  4. Expresen los siguientes números en el sistema de numeración decimal:
    a) MMCDLXIV
    b) CMLIX
    c) MMMCMXCVII
  5. Apliquen la propiedad distributiva y luego resuelvan:
    a) 4.(12+5-6)=
    b) (12-5+9).3=
    c) (120+72):6=
  6. ¿En qué caso la división no es distributiva con respecto a la suma y a la resta?
  7. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, paso a paso:
    a) (7+3.6).4-(4.6-80:10)=
    b) (12-5.2).(20-8:2.4)=
    c) 121:(10+1)+(7+2).(15-6)-12:2.6=

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División de números naturales

Trabajaremos con la división entera de números naturales:

14:4=3

resto=2

Dividendo: 14

Divisor: 4

Cociente: 3

Resto: 2

Si el resto de una división entera es cero la división se llama exacta.

Si llamamos:

D: Dividendo

d: divisor

c: cociente

r: resto

En la división debe cumplirse la siguiente condición:

D=d.c+r
0\le r < d

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Sustracción de números naturales

Veamos los elementos que intervienen en una sustracción de números naturales y algunas de sus propiedades.

7 - 5 = 2

Minuendo: 7

Sustraendo: 5

Resta o diferencia: 2

Propiedades:

  • La resta de números naturales no siempre da como resultado un número natural, es necesario que el minuendo sea mayor que el sustraendo, si son iguales la resta es cero y si el minuendo es menor la solución no es un número natural:
    12-9=3
    12-12=0
    12-15=-3
    -3 no es un número natural

 

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operacion01

Operaciones combinadas

Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, separando en términos y paso a paso.

Verifiquen la solución de las mismas, usando las calculadoras o con las herramientas que se encuentran al final del post.

1) \sqrt{4+8.4}-5^2:(1+2.2)=

2) (3:3+14:2).3+(2^0+3^1+4^2):\sqrt{25}=

3) 4.5:(3^2+\sqrt[5]{1})+(3+2.2)^3=

4) \sqrt[3]{2.15-3}+\sqrt[4]{2.40+1}=

Respuesta del ejercicio 1

Usando wolframalpha

Usando Mathematics 4.0

 

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Operaciones combinadas con números naturales

Jerarquía de las operaciones:

  • Separamos en términos.
  • Se resuelven los paréntesis.
  • Se resuelven las potencias y raíces.
  • Se resuelven los productos y cocientes.
  • Se resuelven sumas y restas.

Ejemplo:

15:3.4+(2+4.5):2-2^5:\sqrt{16}=

Las operaciones que separan en términos son las sumas y las restas que no están dentro de paréntesis, ni dentro de raíces, ni en las bases de potencias.

En el ejemplo tenemos tres términos que pueden ser resueltos de forma independiente:

15:3.4

Como la multiplicación y la división se encuentran en un mismo nivel, la regla en este caso es resolverlos de izquierda a derecha.

15:3.4

5.4

20

El segundo término es:

(2+4.5):2

Primero resolvemos el paréntesis, pero en el mismo hay una operación combinada y por lo tanto debemos seguir con la jerarquía correspondiente.

(2+4.5):2

(2+20):2

22:2

11

Ahora resolvemos el tercer término:

2^5:\sqrt{16}

32:4

8

Si ubicamos todo en la misma operación, obtenemos:

15:3.4+(2+4.5):2-2^5:\sqrt{16}=

5.4+(2+20):2-32:4=

20+22:2-8=

20+11-8=

=23

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Operaciones combinadas

Para resolver una operación combinada nos guiaremos por el siguiente orden:

  • 1ro: Separación en términos.
    Los signos + y – son los que separan en términos, pero no deben estar dentro de paréntesis, de raíces o en la base de una potencia.
  • 2do: Resolución de paréntesis.
    En cada término primero deben resolverse los paréntesis, donde a veces conviene hacer una nueva separación en términos, pero solo dentro del paréntesis.
  • 3ro: Resolución de potencias y raíces.
  • 4to: Resolución de multiplicaciones y divisiones.
  • 5to: Resolución de sumas y restas.

Ejemplo:

Resolvamos la siguiente operación combinada.

2^3.(5+21:7)-3.\sqrt{3.2+11.3-3}=

La operación combinada tiene dos términos, resolvamos el primero

2^3.(5+21:7)

Fuera del paréntesis, resolvemos la potencia y dentro del paréntesis, la primera operación a realizar será la división.

8.(5+3)

Ahora sumamos y eliminamos el paréntesis, para finalmente multiplicar.

8.8

64

Trabajemos ahora el segundo término.

3.\sqrt{3.2+11.3-3}

Comenzamos con el radicando.

3.\sqrt{6+33-3}

3.\sqrt{36}

3.6

18

Entonces nos queda:

2^3.(5+21:7)-3.\sqrt{3.2+11.3-3}=

64-18=46

 

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reloj-con-numeros-romanos-298x300

Sistema de numeración romano

Símbolos del Sistema de Numeración Romano

  • I=1
  • V=5
  • X=10
  • L=50
  • C=100
  • D=500
  • M=1000

Reglas

  • Si un símbolo de igual o menor valor es colocado a la derecha de otro, el valor del mismo debe sumarse al valor del símbolo anterior.
    CLXVI = 166
    MMCIII = 2103
  • Los símbolos I, X, C y M se pueden repetir hasta 3 veces seguidas.
    MMMCXXX = 3130
    CCCIII = 103
  • Los símbolos V, L y D aparecen una sola vez dentro de un número.
    DCXV = 615
    MLXXV = 1075
  • Si el símbolo I es puesto a la izquierda de V o de X, se resta 1 al valor del símbolo de la derecha.
    IV = 4
    IX = 9
  • Si el símbolo X es puesto a la izquierda de L o de C, se resta 10 al valor del símbolo de la derecha.
    XL = 40
    XC = 90
  • Si el símbolo C es puesto a la izquierda de D o de M, se resta 100 al valor del símbolo de la derecha.
    CD = 400
    CM = 900
  • Para escribir números mayores o iguales a 4000, ponemos arriba del número, una barra que lo multiplica por mil.

Ejemplos:

8739=\overline{VIII}DCCXXXIX

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