3er Año

3er Año

Problemas de proporcionalidad

  1. Para preparar una pintura de determinado color se mezclan 10 litros de pintura blanca con 3 litros de pintura verde.
    a) Por otro lado, se quiere hacer una mezcla que tenga la misma tonalidad pero usando 4 litros de pintura verde. ¿cuántos litros de pintura blanca se debería usar en este caso?
    b) Si se pone 7 litros de pintura blanca, ¿cuántos litros de pintura verde se deberá utilizar para obtener la misma tonalidad?
  2. Si a una mezcla de 2 litros de pintura verde y 7 litros de pintura blanca se le agrega un litro de cada color, ¿se obtiene un color más claro o más oscuro?
  3. ¿Será cierto que las siguientes mezclan permiten obtener la misma tonalidad?
    Mezcla 1: 9 litros de pintura verde y 21 de blanca.
    Mezcla 2: 15 litros de pintura verde y 35 blanca.
  4. Se mezclaron 3 litros de pintura verde con 7 litros de pintura blanca.
    a) ¿Qué otras cantidades mezcladas darán la misma tonalidad?
    b) Escribir una fórmula que permita determinar la cantidad de litros de pintura de un color, en función de la cantidad de pintura?

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Cociente

Se llama cociente al resultado de una división.

Siendo más preciso, al resultado de una división.

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Número Racional

Un número es racional cuando puede expresarse como el cociente de dos números enteros.

\mathbb{Q} conjunto de de los números racionales.

  • \frac{1}{2} se lee: “Un medio pertenece al conjunto de los números racionales.”
  • \frac{1}{2} se lee: “Un medio es un número racional.”

¿-2 es un número racional?

Si, dado que -2=-\frac{2}{1}

¿0,25 es racional?

Si es racional, 0,25=\frac{1}{4}

¿5 es racional?

Si es racional, 5=\frac{10}{2}

\frac{a}{b} es un número racional, si a \in Z y b \in Z.

Z conjunto de los números enteros.

-.-

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thales_02

Corolario 2 del Teorema de Thales

Teorema:

La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

\displaystyle \frac{a}{p}=\frac{b}{q}

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thales_01

Corolario del Teorema de Thales

Teorema:

Toda recta paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

Si la recta PQ es paralela al lado BC, entonces:

\displaystyle \frac{AP}{PC}=\frac{AQ}{QC}

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triangulos

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia la relación entre los lados y ángulos de un triángulo.
Las aplicaciones de la trigonometría tiene múltiples:

  • En astronomía
  • En cartografía
  • En artillería
  • En navegación marítima
  • En la navegación satelital

El estudio de la trigonometría abarca los siguientes aspectos

  • Las razones trigonométricas
  • La resolución de triángulos rectángulos
  • Las razones trigonométricas de un ángulo
  • Las funciones trigonométricas
  • La resolución de triángulos oblicuángulos
  • Las identidades trigonométricas
  • La trigonometría esférica

Cuando tenemos que medir la altura de la puerta no dudamos en tomar una cinta métrica y medir de manera directa la longitud en cuestión, pero si nos piden que midamos al área de la pared no buscamos cuadrados para cubrir la superficie de la misma. Normalmente medimos el ancho y la altura de pared para que de forma indirecta, usando la conocida fórmula de base x altura, encontremos el área buscada.

La medición indirecta es un proceso para determinar medidas conocidas a partir de otras medidas conocidas, en la antiguedad fue muy utilizada por los griegos para medir el radio de la Tierra, la superficie de ésta, su distancia al sol y a las estrellas. Todas estas medidas fueron realizadas de forma indirecta mediante fórmulas especiales y del razonamiento deductivo.

Los griegos de Alejandría, entre los años 300 y 200 a.C, contribuyeron de manera sustancial al arte de la medición indirecta creando fórmulas para encontrar áreas, volúmenes y longitudes. Fue durante la primera para parte de este período que nació la trigonometría.

El significado etimológico de la palabra trigonometría es “medición de triángulos”, hoy se la considera como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Bibliografía utilizada: Matemática 2 - Miguel de Guzmán (Anaya) Trigonometría Analítica con aplicaciones - Barnett (Thompson)

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teorema_thales

Teorema de Thales

  • Las rectas p, q y r son paralelas.
  • Las rectas t y se llaman transversales.
  • El segmento a que está en la transversal t y tiene extremos A y B, se encuentra entre las paralelas p y q, su correspondiente en la otra transversal t’ está determinado por las mismas rectas paralelas, dicho segmento es c con extremos en D y E.
  • El correspondiente del segmento AB es el segmento DE.
    El correspondiente del segmento BC es el segmento EF.
    El correspondiente del segmento AC es el segmento DF.

Teorema:
Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra transversal.
\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Las proporciones que se pueden formar a partir del teorema son varias, algunos ejemplos:
\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}
\displaystyle \frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}
\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}

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Porcentaje

 

El porcentaje es la forma que tenemos de representar a la razón entre un número y 100. Se lo representa escribiendo un número seguido del símbolo %.

37\%=\frac{37}{100}=0,37

Si queremos calcular el 37% de $2500, lo único que debemos hacer es multiplicar $2500 por alguna de las representaciones del 37%.

2500.37\%

2500.\frac{37}{100}

2500.0,37

En cualquier caso la respuesta es siempre la misma. El 37% de $2500 es $925.

Encuentren:

  • El 15% de 3200 m.
    3200m . 0,15 = 480 m
  • El 22% de $4800.
    $4800 . 0,22 = $1056
  • El 3% de 350 Kg.
    350 Kg . 0,03 = 10,5 Kg
  • El 120% de 280 h.
    280 h . 1,20 = 336 h

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teorema_thales

Teorema de Thales

Actividad que nos muestra el Teorema de Thales y sus aplicaciones.


Entrar

Fuente: librosvivos.net (Sm Ediciones)

–.–

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