Álgebra Lineal

Álgebra Lineal

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices tiene da una nueva matriz en la cual sus elementos son combinaciones lineales de los elementos de las filas de la primera con las columnas de la segunda, es por eso que, la cantidad de elementos de la fila debe ser igual a la cantidad de elementos de la columna.
Por lo tanto, es condición indispensable, que la cantidad de columnas de la primera matriz sea igual a la cantidad de filas de la segunda matriz.
A_{mxp}.B_{pxn}=C_{mxn}
Ejemplo:

A_{2x3}=\left[\begin{array}{ccc}<br />
a&b&c\\<br />
-&-&-<br />
\end{array}\right]

B_{3x4}=\left[\begin{array}{cccc}<br />
r&-&-&-\\<br />
s&-&-&-\\<br />
t&-&-&-</p>
<p>\end{array}\right]

Ahora tenemos que multiplicar cada fila de la primera con cada fila de la segunda, es por eso que la matriz producto será de orden 2×4, dos filas y cuatro columnas.

El primer elemento de la matriz producto será:

a.r+b.s+c.t

Número de Visitas: 854

Apuntes – Álgebra Lineal

Apuntes teóricos en pdf.

Matrices y determinantes

Sistemas de ecuaciones lineales

Fuente

Número de Visitas: 962


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Sistemas para resolver

Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando algunos de los métodos estudiados:
  1. \left\{\begin{array}{ccc}2x+5y+3z=10\\-2x-3y+2z=-3\\5x+3y-4z=4\end{array}\right.
    -
  2. \left\{\begin{array}{ccc}2x+5y+3z=6\\-2x-3y+2z=-9\\5x+3y-4z=17\end{array}\right.
    -
  3. \left\{\begin{array}{ccc}3x+4y-5z=6\\-2x-2y+5z=-1\\5x+4y+7z=20\end{array}\right.
    -
  4. \left\{\begin{array}{ccc}3x+2y-z=0\\5x-7y+6z=5\\3x-2y+4z=6\end{array}\right.
    -
  5. \left\{\begin{array}{ccc}x+2y+z=5\\3x-z+5z=12\\2x+4y+2z=8\end{array}\right.
    -
  6. \left\{\begin{array}{ccc}-2a+7b-3c=8\\2a-3b+11c=-12\\-5a+2b-4c=1\end{array}\right.
Clasifiquen los siguientes sistemas:
  1. \left\{\begin{array}{ccc}3x+y-2z=0\\-9x-3y+3z=6\\3x+y-z=2\end{array}\right.
    -
  2. \left\{\begin{array}{ccc}x+y+z=1\\2x-3y+z=13\\2x+2y+2z=3\end{array}\right.
    -
  3. \left\{\begin{array}{ccc}a+b-2c=2\\-a+2b+3c=5\\a+b-2c=3\end{array}\right.
    -
  4. \left\{\begin{array}{ccc}a+b-2c=-2\\-a+2b+3c=3\\a+3b+c=1\end{array}\right.
Para repasar, resuelvan los sistemas y escriban sus soluciones en los comentarios.

Número de Visitas: 6366

deter

Determinante 3×3

¿Cómo hallar el determinante de una matriz de orden 3×3?

Es decir, como hallar el determinante de una matriz de tres filas por tres columnas.

\left\vert\begin{array}{ccc}a & b &c\\d & e & f\\g & h & j\end{array}\right\vert

Para ello debemos hacer seis multiplicaciones y sumarlas o restarlas de acuerdo al siguiente esquema.

\left\vert\begin{array}{ccc}a & b &c\\d & e & f\\g & h & i\end{array}\right\vert=a.e.i+d.h.c+b.f.g-c.e.g-h.f.a-b.d.i

Una ayuda para acordarse como armar las multiplicaciones puede ser la siguiente, las tres multiplicaciones que suma pueden obtener de las diagonales de cada color:

y las tres que restan de las siguientes diagonales:

Ejemplo:

\left\vert\begin{array}{ccc}4 & 2 &2\\-1 & 3 &5f\\1 & -1 & -2\end{array}\right\vert=4.3.(-2)+d.h.c+b.f.g-c.e.g-h.f.a-b.d.i

Pueden ver el siguiente video explicativo. Video

Número de Visitas: 1132

matriz_cuadrada

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas.

A_{mxn} es cuadrada si m=n

Ejemplo:

A=\left[\begin{array}{ccc}<br />
1&2&3\\<br />
4&5&6\\<br />
7&8&9<br />
\end{array}\right]

La matriz A es cuadrada de orden 3, es decir, tiene 3 filas y 3 columnas.

Número de Visitas: 999


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada. Su inversa es la matriz A^{-1} y cumple con la siguiente condición:

A.A^{-1}=A^{-1}.A=I

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la matriz A

\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right]

y la multiplicamos por la matriz B:

B= \displaystyle\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right]

A.B=\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right].<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right]=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&0\\<br />
0&1<br />
\end{array}\right]

B.A=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
\frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\<br />
\frac{1}{6}&\frac{1}{6}<br />
\end{array}\right].<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
-1&4<br />
\end{array}\right]<br />
=<br />
\left[\begin{array}{cc}<br />
1&0\\<br />
0&1<br />
\end{array}\right]

Por lo tanto la matriz B es la inversa de la matriz A.

Es decir, B=A^{-1}

Número de Visitas: 83705


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Teorema de Cramer

Dado un sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\<br />
\cdots&=&\cdots\\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m<br />
\end{array}\right.

Teniendo en cuenta las siguientes matrices.

A=\left[\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\<br />
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}<br />
\end{array}\right]

X=\left[\begin{array}{c}<br />
x_1\\<br />
x_2\\<br />
\cdots\\<br />
x_n<br />
\end{array}\right]

B=\left[\begin{array}{c}<br />
b_1\\<br />
b_2\\<br />
\cdots\\<br />
b_n<br />
\end{array}\right]

Podemos escribir el sistema en forma matricial.

A.X=B

Si la matriz A es regular, podemos encontrar su matriz inversa A^{-1}. Entonces, pre multiplicamos la igualda.

A^{-1}.A.X=A^{-1}.B

I.X=A^{-1}.B

X=A^{-1}.B

———-.———-.———-.———-

Número de Visitas: 3837


Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Warning: Creating default object from empty value in /home/roberprof/roberprof.com/wp-includes/comment-template.php on line 815

Regla de Cramer

La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\<br />
\cdots&=&\cdots\\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m<br />
\end{array}\right.

La matriz de los coeficientes A es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\<br />
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}<br />
\end{array}\right\vert

La solución del sistema es:

x_1=\displaystyle\frac{\Delta x_1}{\Delta}

x_2=\displaystyle\frac{\Delta x_2}{\Delta}

\cdots

x_n=\displaystyle\frac{\Delta x_n}{\Delta}

donde \Delta x_j es el determinante de la matriz que se obtiene de intercambiar la columna j por la columna de los resultados.

Ejemplo:

\left\{\begin{array}{ccc}<br />
2x+y-3z&=&1\\<br />
-x+5y+z&=&4\\<br />
3x-2y-4z&=&-1<br />
\end{array}\right.

\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\\<br />
-1&5&1\\<br />
3&-2&-4<br />
\end{array}\right\vert=-4

\Delta_x=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
1&1&-3\\<br />
4&5&1\\<br />
-1&-2&-4<br />
\end{array}\right\vert=-12

\Delta _y=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&-3\\<br />
-1&4&1\\<br />
3&-1&-4<br />
\end{array}\right\vert=-4

\Delta_z=\left\vert\begin{array}{ccc}<br />
2&1&1\\<br />
-1&5&4\\<br />
3&-2&-1<br />
\end{array}\right\vert=-8

Por lo tanto:

x=\displaystyle\frac{-12}{-4}=3

y=\displaystyle\frac{-4}{-4}=1

z=\displaystyle\frac{-8}{-4}=2

———-.———-.———-.———-

Número de Visitas: 2548