Álgebra Lineal

Matriz cuadrada

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

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Una matriz es cuadrada si el número de filas coincide con el número de columnas.

$A_{mxn}$ es cuadrada si $m=n$

Ejemplo:

$A=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right]$

La matriz $A$ es cuadrada de orden 3, es decir, tiene 3 filas y 3 columnas.

Matriz inversa

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

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Sea $A$ una matriz cuadrada. Su inversa es la matriz $A^{-1}$ y cumple con la siguiente condición:

$A.A^{-1}=A^{-1}.A=I$

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la matriz $A$

$\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]$

y la multiplicamos por la matriz B:

$B= \displaystyle\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]$

$A.B=\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

$B.A= \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3}&\frac{-1}{3}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6} \end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc} 1&2\\ -1&4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right]$

Por lo tanto la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$ .

Es decir, $B=A^{-1}$

Teorema de Cramer

17 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

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Dado un sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\ \cdots&=&\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.$

Teniendo en cuenta las siguientes matrices.

$A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \cdots\\ b_n \end{array}\right]$

Podemos escribir el sistema en forma matricial.

$A.X=B$

Si la matriz $A$ es regular, podemos encontrar su matriz inversa $A^{-1}$ . Entonces, pre multiplicamos la igualda.

$A^{-1}.A.X=A^{-1}.B$

$I.X=A^{-1}.B$

$X=A^{-1}.B$

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Regla de Cramer

16 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

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La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, si en el sistema el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

La matriz de los coeficientes $A$ es cuadrada y debe ser regular, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.

$\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}\right\vert$

La solución del sistema es:

$x_1=\displaystyle\frac{\Delta x_1}{\Delta}$

$x_2=\displaystyle\frac{\Delta x_2}{\Delta}$

$\cdots$

$x_n=\displaystyle\frac{\Delta x_n}{\Delta}$

donde $\Delta x_j$ es el determinante de la matriz que se obtiene de intercambiar la columna $j$ por la columna de los resultados.

Ejemplo:

$\left\{\begin{array}{ccc} 2x+y-3z&=&1\\ -x+5y+z&=&4\\ 3x-2y-4z&=&-1 \end{array}\right.$

$\Delta=det(A)=\left\vert\begin{array}{ccc} 2&1&-3\\ -1&5&1\\ 3&-2&-4 \end{array}\right\vert=-4$

$\Delta_x=\left\vert\begin{array}{ccc} 1&1&-3\\ 4&5&1\\ -1&-2&-4 \end{array}\right\vert=-12$

$\Delta _y=\left\vert\begin{array}{ccc} 2&1&-3\\ -1&4&1\\ 3&-1&-4 \end{array}\right\vert=-4$

$\Delta_z=\left\vert\begin{array}{ccc} 2&1&1\\ -1&5&4\\ 3&-2&-1 \end{array}\right\vert=-8$

Por lo tanto:

$x=\displaystyle\frac{-12}{-4}=3$

$y=\displaystyle\frac{-4}{-4}=1$

$z=\displaystyle\frac{-8}{-4}=2$

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Matrices

12 Nov

Publicado por roberprof en 6to Año

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Una matriz de orden nxm es una ordenación de números en m filas y n columnas.

Por ejemplo la matriz A es de orden 2 x 3

$A_{2x3}=\left [\begin{array}{ccc}-2 & 3&0\\4&1&2\end{array}\right ]$

La fila 1 es $[-2 \ 3 \ 0]$

La columna 3 es $A\left [\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right ]$

El elemento $a_{12}$ es aquel que se encuentra en la primer fila y segunda columna.

Por lo tanto $a_{12}=3$ .

Podemos escribir simbólicamente:

$A=(a_{ij})_{mxn}=\left [\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\dots&\dots&\dots&\dots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}\right ]$