Análisis Matemático

Análisis Matemático

Repaso de Análisis Matemático

1) Dada la función:

f(x)=\frac{1}{x^2}

a) Representen gráficamente f(x).

b) Analicen completamente la función f(x).

2) Encuentren:

Lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}

3) Hallen la ecuación de la recta tangente a la función:

g(x)=x^5-20

en el punto x=-2.

4) Sabiendo que:

h'(x)=x^2-2x

a) Encuentren los puntos críticos de la función h(x).

b) ¿Existe algún máximo o algún mínimo local?

5) Analicen completamente la función:

j(x)=x^4-3x^3-24x^2+80x

6) ¿Qué información brinda la derivada de una función en un punto?

7) ¿Qué información brindan las raíces de la derivada de una función?

8) ¿Qué información brindan las raíces de la segunda derivada de una función?

9) Dada la función f(x)=\sqrt{x+2}
a)  Encuentren la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos x=2 y x=4.

b) Encuentre la expresión por definición de la derivada en x=2.

c) Encuentren la ecuación de la recta tangente en x=2

 

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probl_01

Problemas de la velocidad y la tangente 1

Problema 1

Un tanque contiene 1000 galones de agua que salen por el fondo del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua restante en el tanque (en galones) al cabo de t minutos.

t (min) 5 10 15 20 25 30
V (gal) 694 444 250 111 28 0

a) Si P es el punto (15,250) en la gráfica de V hallar la pendiente de las rectas secantes PQ cuando Q es un punto en la gráfica con t=5, 10, 20, 25, 30.

b) Estimar la pendiente de la recta tangente en P como el promedio de pendiente de dos secantes.

c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P (esta pendiente representa la velocidad del flujo de agua a la salida del tanque a los quince minutos).

Respuestas:

a) Tabla realizada en Excel

pendiente de PQ = \frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}

Observamos como el programa no puede calcular la pendiente cuando Q coinicide con P.

La fórmula usada en la casilla C2 es:

b) Calcularemos el promedio de las pendientes en los puntos t = 10 y t = 20.

\frac{(-38,8)+(-27,8)}{2}=-33,3

c) Gráfica realizada en GeoGebra.

Los puntos de la tabla son los extremos de los segmentos rojos.

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limites_01

Límites: Ejercicios

1) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

a) Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=

b) Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=

c) Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=

d) Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=

e) Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=

f) f(-1)=

2) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

 

 

a) Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=

b) Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=

c) Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=

d) Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=

e) Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=

f) Lim_{x \rightarrow +1^{+} }f(x)=

g) Lim_{x \rightarrow +1^{-} }f(x)=

h) Lim_{x \rightarrow +1 }f(x)=

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caja

Análisis Matemático – Ejercicio 5

Resuelvan el siguiente problema:

De una cartulina rectangular de 50 cm de ancho y 30 cm de altura quitamos cuadrados de las esquinas como lo indica la figura.

a) Encuentren la expresión  que permite obtener el volumen de la caja en función de x.

Largo = 50 – 2x

Ancho = 30 – 2x

Alto = x

Volumen = Largo x Ancho x Alto

v(x)=(50-2x).(30-2x).x

Donde:

0<x<15

b) ¿Cuántos centímetros tiene que medir x para obtener el volumen máximo?

Para encontrar el valor de x que maximiza el volumen, debemos derivar la función v(x), igualarla a cero, encontrar sus raíces y analizar los puntos críticos.

Usando Mathematics

Como x se debe encontrar entre 0 y 15, analizaremos sólo x = 6,06 para verificar si es un máximo.

Por lo tanto:

v''(0,06)<0

Entonces en x = 6,06 hay un máximo.

c) ¿De cuántos cm3 es dicho volumen?

Para encontrar el volumen hallamos v(6,06).

Por lo tanto del volumen máximo es 4104,40 cm3.

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ejer_4_1

Análisis Matemático – Ejercicio 4

Dada la función:

j(x)=x^3-3x^2

a) Encuentren, máximo, mínimo y punto de inflexión de la función.

Primero derivamos la función y la igualamos a cero para obtener los puntos críticos.

Usando Mathematics

Los puntos críticos son 0 y 2.

Ahora analizamos la segunda derivada:

y buscamos el signo de la segunda derivada en los puntos críticos:

Entonces:

j''(2)>0

j''(0)<0

En x=2 hay un Mínimo.

En x=0 hay un Máximo.

Por lo tanto:

Mínimo = (2,-4)

Máximo = (0,0)

Para buscar el punto de inflexión igualamos a cero la segunda derivada:

Punto de inflexión = (1,-2)

b) Obtengan la representación gráfica más adecuada.

Usamos Geogebra

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ejer_3_1

Análisis Matemático – Ejercicio 3

Dada la función:

h(x)=x^3-7x+6

a) Encuentren las raíces aplicando el Teorema de Gauss y la regla de Ruffini y la fórmula cuadrática.

Usando Mathematics.

b) ¿Cuál es la ordenada al origen?

Usando Mathematics

h(0)=6

c) Expliquen como encuentran la derivada de la función, según el procedimiento explicado en clase.

Si la función es una función exponencial, la derivada puede hallarse derivando término a término funciones potenciales.

f(x)=a.x^n

f'(x)=a.nx^{n-1}

Es decir, el coeficiente a se multiplica por el exponente y el exponente se reduce en una unidad.

Usando Mathematics

 

d) Encuentren paso a paso el máximo y el mínimo de la función.

Igualamos a cero la derivada y buscamos las raíces.

Los puntos críticos son

x=1,52
x=-1,52

Buscamos la segunda derivada de la función:

Usando Mathematics

Reemplazamos en la segunda derivada los puntos críticos:

h''(1,52)=6.1,52>0

h''(-1,52)=6.(-1,52)<0

Por lo tanto:

en x=1,52 hay un mínimo.

en x=-1,52 hay un máximo.

Para saber cuanto vale el máximo y el mínimo, debemos reemplazar los puntos críticos en la función h(x).

En conclusión:

Hay un máximo.

M=(-1,52;13,12)
Hay un mínimo.

m=(1,52;-1,12)

 

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ejer_2

Análisis Matemático – Ejercicio 2

Dada la función

g(x)=2^x-3

a) Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1.

Primero buscaremos las coordenadas del punto por donde pasa la recta tangente.

P=(x,y)=(1,y)

y=g(1)

Usando Mathematics

P=(x,y)=(1,-1)

Ahora tenemos que encontrar la pendiente de la recta, para eso usaremos la derivada de la función.

Usando Mathematics

 

Reemplazamos x por 1.

La ecuación de una recta tiene la forma:

y=ax+b

y=1,38.x+b

Dado que (1,-1) pertenece a la recta

despejamos b, usando Mathematics

Por lo tanto:

y=1,38.x-2,38

b) Represeten en un mismo gráfico la función g y la recta tangente.

Usando Geogebra

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ejer_1

Análisis Matemático – Ejercicio 1

Dada la siguiente función:

\displaystyle f(x)=\frac{6x+1}{3x-1}

a) Obtengan la representación gráfica más adecuada para el análisis.

Usaremos el programa Geogebra para obtener la representación gráfica.

El rango usado para el gráfico es x=-5…5 e y=-3…7

b) Analicen completamente la función f.

Dominio

La función f es una función racional, dado que tiene la forma

\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

El único lugar donde la función no está definida es donde se anula el denominador P(x).

Usando Mathematics 4.0

Por lo tanto:

Dom(f)=\mathbb{R}\neq\frac{1}{3}

Imagen

La representación gráfica de la función f tiene dos asintotas una vertical en x = 1/3 y una horizontal cuya ecuación es

y=Lim_{x\rightarrow \infty}f(x)

Usando Mathematics

Dado que la gráfica nunca corta la asíntota horizontal, los valores de la función f pueden ser cualquier número real menos el valor de y = 2.

Por lo tanto:

Im(f)=\mathbb{R}\neq 2

Raíces

Usando Mathematics

Por lo tanto

x=-\frac{1}{6}

es la única raíz de la función f.

Ordenada al origen

f(0)

Usando Mathematics

La ordenada al origen de la función f es -1

Conjunto de positividad

Está formado por los valores de x donde la función es positiva.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^+=(-\infty,-\frac{1}{6})(\frac{1}{3},+\infty)

Conjunto de negatividad

Está formado por los valores de x donde la función es negativa.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^-=(-\frac{1}{6},\frac{1}{3})

Intervalo de crecimiento

No tiene.

Intervalo de decrecimiento

La función decrece en todo su dominio.

Máximo

No tiene.

Mínimo

No tiene.

c) Encuentre los siguientes límites

Lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)

Usando Mathematics

Lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)

Al ser continua en x=2 el límite anterior es f(2).

Usando Mathematics

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graph2

Análisis de funciones – Ejercitación

Analicen la función:

f(x)= \displaystyle \frac{x^2+7x+3}{x^2}

Intentemos obtener una gráfica adecuada para analizar la función.

Debemos ajustar el dominio del gráfico para observar las características más importantes de la función, en este caso el mínimo.

Dominio

El único caso en que la función no estaría definida en dónde se anula el denominador.

x^2=0

x=0

Dom : R ≠0

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Derivador de funciones

Introducir la función f(x) a derivar:

Ejemplo:

f(x)=3x^4-2x^3

f'(x)=12x^3-6x

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