Análisis Matemático – Ejercicio 5

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may 092011
 

Resuelvan el siguiente problema:

De una cartulina rectangular de 50 cm de ancho y 30 cm de altura quitamos cuadrados de las esquinas como lo indica la figura.

a) Encuentren la expresión  que permite obtener el volumen de la caja en función de x.

Largo = 50 – 2x

Ancho = 30 – 2x

Alto = x

Volumen = Largo x Ancho x Alto

v(x)=(50-2x).(30-2x).x

Donde:

0<x<15

b) ¿Cuántos centímetros tiene que medir x para obtener el volumen máximo?

Para encontrar el valor de x que maximiza el volumen, debemos derivar la función v(x), igualarla a cero, encontrar sus raíces y analizar los puntos críticos.

Usando Mathematics

Como x se debe encontrar entre 0 y 15, analizaremos sólo x = 6,06 para verificar si es un máximo.

Por lo tanto:

v''(0,06)<0

Entonces en x = 6,06 hay un máximo.

c) ¿De cuántos cm3 es dicho volumen?

Para encontrar el volumen hallamos v(6,06).

Por lo tanto del volumen máximo es 4104,40 cm3.

 Posted by roberprof at 22:47

Análisis Matemático – Ejercicio 4

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may 092011
 

Dada la función:

j(x)=x^3-3x^2

a) Encuentren, máximo, mínimo y punto de inflexión de la función.

Primero derivamos la función y la igualamos a cero para obtener los puntos críticos.

Usando Mathematics

Los puntos críticos son 0 y 2.

Ahora analizamos la segunda derivada:

y buscamos el signo de la segunda derivada en los puntos críticos:

Entonces:

j''(2)>0

j''(0)<0

En x=2 hay un Mínimo.

En x=0 hay un Máximo.

Por lo tanto:

Mínimo = (2,-4)

Máximo = (0,0)

Para buscar el punto de inflexión igualamos a cero la segunda derivada:

Punto de inflexión = (1,-2)

b) Obtengan la representación gráfica más adecuada.

Usamos Geogebra

 Posted by roberprof at 21:49

Análisis Matemático – Ejercicio 3

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may 092011
 

Dada la función:

h(x)=x^3-7x+6

a) Encuentren las raíces aplicando el Teorema de Gauss y la regla de Ruffini y la fórmula cuadrática.

Usando Mathematics.

b) ¿Cuál es la ordenada al origen?

Usando Mathematics

h(0)=6

c) Expliquen como encuentran la derivada de la función, según el procedimiento explicado en clase.

Si la función es una función exponencial, la derivada puede hallarse derivando término a término funciones potenciales.

f(x)=a.x^n

f'(x)=a.nx^{n-1}

Es decir, el coeficiente a se multiplica por el exponente y el exponente se reduce en una unidad.

Usando Mathematics

 

d) Encuentren paso a paso el máximo y el mínimo de la función.

Igualamos a cero la derivada y buscamos las raíces.

Los puntos críticos son

x=1,52
x=-1,52

Buscamos la segunda derivada de la función:

Usando Mathematics

Reemplazamos en la segunda derivada los puntos críticos:

h''(1,52)=6.1,52>0

h''(-1,52)=6.(-1,52)<0

Por lo tanto:

en x=1,52 hay un mínimo.

en x=-1,52 hay un máximo.

Para saber cuanto vale el máximo y el mínimo, debemos reemplazar los puntos críticos en la función h(x).

En conclusión:

Hay un máximo.

M=(-1,52;13,12)
Hay un mínimo.

m=(1,52;-1,12)

 

 Posted by roberprof at 17:34

Análisis Matemático – Ejercicio 2

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may 082011
 

Dada la función

g(x)=2^x-3

a) Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1.

Primero buscaremos las coordenadas del punto por donde pasa la recta tangente.

P=(x,y)=(1,y)

y=g(1)

Usando Mathematics

P=(x,y)=(1,-1)

Ahora tenemos que encontrar la pendiente de la recta, para eso usaremos la derivada de la función.

Usando Mathematics

 

Reemplazamos x por 1.

La ecuación de una recta tiene la forma:

y=ax+b

y=1,38.x+b

Dado que (1,-1) pertenece a la recta

despejamos b, usando Mathematics

Por lo tanto:

y=1,38.x-2,38

b) Represeten en un mismo gráfico la función g y la recta tangente.

Usando Geogebra

 Posted by roberprof at 20:01

Análisis Matemático – Ejercicio 1

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may 082011
 

Dada la siguiente función:

\displaystyle f(x)=\frac{6x+1}{3x-1}

a) Obtengan la representación gráfica más adecuada para el análisis.

Usaremos el programa Geogebra para obtener la representación gráfica.

El rango usado para el gráfico es x=-5…5 e y=-3…7

b) Analicen completamente la función f.

Dominio

La función f es una función racional, dado que tiene la forma

\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

El único lugar donde la función no está definida es donde se anula el denominador P(x).

Usando Mathematics 4.0

Por lo tanto:

Dom(f)=\mathbb{R}\neq\frac{1}{3}

Imagen

La representación gráfica de la función f tiene dos asintotas una vertical en x = 1/3 y una horizontal cuya ecuación es

y=Lim_{x\rightarrow \infty}f(x)

Usando Mathematics

Dado que la gráfica nunca corta la asíntota horizontal, los valores de la función f pueden ser cualquier número real menos el valor de y = 2.

Por lo tanto:

Im(f)=\mathbb{R}\neq 2

Raíces

Usando Mathematics

Por lo tanto

x=-\frac{1}{6}

es la única raíz de la función f.

Ordenada al origen

f(0)

Usando Mathematics

La ordenada al origen de la función f es -1

Conjunto de positividad

Está formado por los valores de x donde la función es positiva.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^+=(-\infty,-\frac{1}{6})(\frac{1}{3},+\infty)

Conjunto de negatividad

Está formado por los valores de x donde la función es negativa.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^-=(-\frac{1}{6},\frac{1}{3})

Intervalo de crecimiento

No tiene.

Intervalo de decrecimiento

La función decrece en todo su dominio.

Máximo

No tiene.

Mínimo

No tiene.

c) Encuentre los siguientes límites

Lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)

Usando Mathematics

Lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)

Al ser continua en x=2 el límite anterior es f(2).

Usando Mathematics

 Posted by roberprof at 18:28
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