Geometría Analítica

Geometría Analítica

recta_en_el_plano

Ecuación general de la recta

Se llama ecuación general de la recta, a una ecuación de la forma:

Ax+By+C=0

El vector de componentes (A,B) es un vector perpendicular a la recta y los vectores de componentes (B,-A) y (-B,A) son vectores que tienen la dirección de la recta.

La expresión -\frac{A}{B} nos da la pendiente de la recta y la expresión -\frac{C}{B} la ordenada al origen de la recta.

Por lo tanto una recta paralela tendría la forma:

Ax+By+D=0

y una recta perpendicular:

Bx-Ay+E=0

Ejemplo

Tenemos la recta r dada por la ecuación:

4x+2y-5=0

Para representarla gráficamente buscamos dos puntos que pertenezcan a la recta, para ellos buscamos un para de valores de x e y que satisfagan la ecuación dada.

Si x=1

4.1+2y-5=0

2y=5-4

y=0,5

Si x=-1,5

4.(-1,5)+2y-5=0

2y=5+6

y=5,5

Los puntos P=(1;0,5) y Q=(-1,5;5,5) pertenecen a la recta.

recta_en_el_plano

La pendiente de la recta es:

a=-\frac{A}{B}=-\frac{4}{2}=-2

podemos corroborarlo gráficamente

recta_en_el_plano2

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Geometría Analítica

Rectas en el Plano

  • Distancia entre dos puntos.
  • Mediatriz de un segmento.
  • Vector.
  • Elementos.
  • Componentes de un vector.
  • Rectas en el plano.
  • Ecuación vectorial.
  • Ecuación paramétrica.
  • Ecuación continua.
  • Ecuación general.
  • Ecuación explícita.
  • Representación gráfica.
  • Pendiente.
  • Intersección con los ejes coordenados.
  • Rectas paralelas y perpendiculares.

Cónicas.

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Geometría Analítica – Coordenadas – 002

Marcar los puntos A(-1,-3), B(1,1) y C(2,3) y verificar gráficamente que están en una misma recta.

Solución

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Geometría Analítica – Coordenadas – 001

Ubicar los siguientes puntos en un sistema cartesiano:

  • A(3,5)
  • B(-2,4)
  • C(4,-1)
  • D(0,-3)

Solución

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Ejercicio_07

Ejercicios de Geometría Analítica

A partir del siguiente gráfico.

a)   Encuentre la ecuación de la elipse.

A partir de los datos del gráfico

Semieje menor a=2

Semieje mayor b=3

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

b)   Encuentren las coordenadas de los focos.

Debido a que los focos se encuentran sobre el eje y.

c^2=b^2-a^2

c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=\pm 2,2

Las coordenadas de los focos:

F=(0;2,2)

F'=(0;-2,2)

c)   Encuentren analíticamente los puntos de intersección con la recta y=2.

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

Sustituyendo y=2

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{4}{9}=1

\displaystyle \frac{x^2}{4}=1-\frac{4}{9}

\displaystyle \frac{x^2}{4}=\frac{5}{9}

\displaystyle x=\sqrt{\frac{20}{9}}

x=\pm 1,5

Los puntos de intersección

(1,5;2)

(-1,5;2)

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Ejercicio_06

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada una circunferencia con centro en (2,-3) y que pasa por el punto (2,1).

a)  Hallen el radio de la circunferencia.

r=d(C,P)

r=\sqrt{(2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{16}=4

b)  Encuentren su ecuación.

(x-2)^2+(y+3)^2=16

c)  Encuentren analíticamente la intersección entre la circunferencia y el eje x.

En el eje x tenemos que y=0

(x-2)^2+(0+3)^2=16

(x-2)^2 + 9 = 16

(x-2)^2 = 7

x=2 \pm \sqrt{7}

x=+4,6

x=-0,6

Por lo tanto los puntos de intersección son:

(4,6;0)

(-0,6;0)

 

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Ejercicio_05

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la circunferencia  (x+2)^2+(y-1)^2=4  y la recta y=x-3

a)  Representen gráficamente la circunferencia y la recta.

La circunferencia tiene centro (-2,1) y radio 2

La recta tiene ordenada al origen -3 y pendiente 1.

b)  Encuentren analíticamente la intersección entre ambas.

Sustituyendo y=x-3

en (x+2)^2+(y-1)^2=4

tenemos

(x+2)^2+(x-3-1)^2=4

(x+2)^2+(x-4)^2=4

x^2+4x+4+x^2-8x+16-4=0

2x^2-4x+16=0

Usando la fórmula resolvente de una ecuación cuadrática

\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{16-4.2.16}}{4}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{-112}}{4}

Como la raíz tiene radicando negativo los valores de x no son números reales.

En conclusión la circunferencia y la recta no tienen intersección.

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Ejercicio_04

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la recta 2x + 3y – 4 = 0

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Solución

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

y=0

2x+3y-4=0

2x+3.0-4=0

2x-4=0

x=2

(2,0)

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

Una de las posibles respuestas

2x+3y-4=0

y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}

Una recta paralela tiene la misma pendiente

y=-\frac{2}{3}x+b

Como debe pasar por (5,4)

4=-\frac{2}{3}.5+b

b=\frac{22}{3}

Por lo tanto

\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{22}{3}

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Una recta paralela tiene pendiente opuesta e inversa.

y=\frac{3}{2}x+b

y como pasa por el origen del sistema b=0

Por lo tanto

y=\frac{3}{2}x

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Ejercicio_01

Ejercicios de Geometría Analítica

Dados los puntos A(1,3) y B(-3,4)

a)  Hallar las componentes del vector AB.

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

e) Encontrar la pendiente de la recta.

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

Solución

a) Hallar las componentes del vector AB.

Analíticamente

\vec{AB}=B-A=(-3.4)-(1,3)=(-4,1)

Gráficamente

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

Comenzamos por la ecuación vectorial:

(x,y)=(1,3)+(-4,1).t

Ahora la paramétrica

x=1-4t
y=3+t

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

Analíticamente

Intersección con el eje x

y=0

y=3+t \Rightarrow 0=3+t

t=-3

x=1-4t \Rightarrow x=1-4.(-3)

x=13

(13,0)

Intersección con el eje y

x=0

x=1-4t \Rightarrow 0=1-4.t

t=0,25

y=3+t \Rightarrow y=3+0,25

y=3,35

(0;3,25)

Gráficamente

e) Encontrar la pendiente de la recta.

A partir de las componentes del vector

\vec{AB}=(-4,1)

\displaystyle m=\frac{1}{-4}

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

P=(x,y)

PA=PB

\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}

(x-1)^2+(y-3)^2=(x+3)^2+(y-4)^2

x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2+6x+9+y^2-8y+16

-2x-6y+10=6x-8y+25

8x-2y+15=0

 

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elipse

Repaso de Geometría Analítica – 2012

1) Graficar una ecuación cuyo centro es (-3,1) de radio 5.

¿Cuál es su ecuación?

Obtener los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Obtener los puntos de intersección con la recta x+y+1=0

‎2) Hallar la intersección entre las siguientes rectas:    

r:   2x + y -5 = 0

s:  (x,y) = (1, -4) + (1, 2)t

‎3) Halllar la ecuación vectorial de la mediatriz de un segmento de extremos:

(-2,-3) y (0,4).

4) Encontrar los puntos de intersección de las rectas:

r: y=-4x+1

s: 2x+2y-1=0

con la circunferencia:

(x-1)^2+(y+2)^2=36

5) Encontrar la mediatriz de los siguientes segmentos:

a) A(2,0) B(2,-4)

b) P(-2,-3) Q(3,1)

c) M(0,0) N(4,6)

6) Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro los extremos de los siguientes segmentos:

a) A(2,0) B(2,-4)

b) P(-2,-3) Q(3,1)

c) M(0,0) N(4,6)

7) Graficar y encontrar los focos de las siguientes elipses:

a) \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1

b) \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1

c) \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1

d) \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{14}=1

8) Para que una cónica se degenere el plano que intersecta al cono debe pasar por el vértice, si el ángulo de conicidad es de 40°. ¿Qué se obtiene si el ángulo del plano con el eje es de …?

a) 0°

b) 32°

c) 40°

d) 50°

e) 80°

f) 90°

 9) Definir como sección cónica:

a) Una circunferencia.

b) Una hipérbola.

10) Definir como lugar geométrico:

a) Una mediatriz.

b) Una elipse.

c) Una parábola.

11) En una elipse con eje focal en x, dónde la suma constante es 2a.

¿Cuál es distancia máxima a la que pueden separarse los focos?

12) En una elipse con eje focal en y, dónde la suma constante es 2b.

¿Qué sucede si los focos coinciden?

13) Graficar las siguientes rectas:

a) (x, y) = (3,-1) + (-2,3)t

b) x = -1+t; y = 2+3t

c) (x-2)/3 = (y+1)/-2

d) 3x – 2y +5 = 0

e) y = 4x -3

f) x/2 + y/3 = 1

14) Encontrar los puntos de intersección de las siguientes rectas con los ejes coordenados:

a) (x, y) = (-15) + (0,3)t

b) x = 2 – t; y = -3 + 4t

c) (x+3)/1 = (y+2)/4

d) 5y + 10 = 0

e) y = -3x +2

f) x/-3 + y/1 = 1

15) Encontrar la pendiente de las siguientes rectas:

a) (x, y) = (1,0) + (-2,2)t

b) x = 2 + 4t; y = -1 -t

c) (x+4)/-2 = (y-3)/2

d) y -2x +6 = 0

e) y = 3x/2 + 1

f) x/-3 + y/3 = 1

16) Hallar la ecuación de una recta paralela:

a) (x, y) = (2,1) + (1,-2)t

b) x = t-1; y = 2t+2

c) x+4 = (y+1)/3

d) 8 + 2x – y = 0

e) y = x + 5

f) x/6 + y/2 = 1

17) Hallar la ecuación de una recta perpendicular:

a) (x, y) = (2,-1) + (-2,1)t

b) x = -1+3t; y = 2+t

c) (x-4)/3 = (y-1)/-2

d) 4x – 2y +1 = 0

e) y = 6 – 2x

f) x/1 + y/-1 = 1

18) Hallar la intersección entre las rectas del ejercicio anterior:

a) a y d

b) b y e

c) d y f

19) Hallar los 6 tipos de ecuaciones de una recta:

a) Que pasa por los puntos (-2,1) y (3,4)

b) Que pasa por el punto (0,-2)  y tiene la dirección del vector (1,4)

c) Que tiene abscisa al origen 2 y ordenada al origen -1

d) Que pasa por el origen y tiene pendiente -2

20) Hallar la ecuación de una circunferencia:

a) Que pasa por el origen y tiene centro en (3,1).

b) Que pasa por (3,1) y tiene centro en el origen.

c) Que tiene por extremos de un diámetro a (-2,1) y (4,1).

d) Que tiene por extremos de un diámetro al origen y a (8,6).

e) Que pasa por los puntos (1,3), (-2,1) y (3,2).

e) Que pasa por los puntos (-2,3), (4,0) y (1,3).

21) Hallar la ecuación de una elipse:

a) Que tiene vértices en (4,0) y (0,-1).

b) Que tiene sus focos en (2,0) y (-20) y la suma constante es 6.

c) Que tiene su foco en (0,3) y el semieje mayor igual a 4.

d) Que tiene un foco en (0,-2) y un vértice (2,0).

22) Graficar:

a) Las circunferencias del ejercicio 20.

b) Las elipses del ejercicio 21.

 

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