Ejercicios

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Geometría Analítica – Coordenadas – 002

Marcar los puntos A(-1,-3), B(1,1) y C(2,3) y verificar gráficamente que están en una misma recta.

Solución

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Geometría Analítica – Coordenadas – 001

Ubicar los siguientes puntos en un sistema cartesiano:

  • A(3,5)
  • B(-2,4)
  • C(4,-1)
  • D(0,-3)

Solución

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Ejercicio_07

Ejercicios de Geometría Analítica

A partir del siguiente gráfico.

a)   Encuentre la ecuación de la elipse.

A partir de los datos del gráfico

Semieje menor a=2

Semieje mayor b=3

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

b)   Encuentren las coordenadas de los focos.

Debido a que los focos se encuentran sobre el eje y.

c^2=b^2-a^2

c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=\pm 2,2

Las coordenadas de los focos:

F=(0;2,2)

F'=(0;-2,2)

c)   Encuentren analíticamente los puntos de intersección con la recta y=2.

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

Sustituyendo y=2

\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{4}{9}=1

\displaystyle \frac{x^2}{4}=1-\frac{4}{9}

\displaystyle \frac{x^2}{4}=\frac{5}{9}

\displaystyle x=\sqrt{\frac{20}{9}}

x=\pm 1,5

Los puntos de intersección

(1,5;2)

(-1,5;2)

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Ejercicio_06

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada una circunferencia con centro en (2,-3) y que pasa por el punto (2,1).

a)  Hallen el radio de la circunferencia.

r=d(C,P)

r=\sqrt{(2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{16}=4

b)  Encuentren su ecuación.

(x-2)^2+(y+3)^2=16

c)  Encuentren analíticamente la intersección entre la circunferencia y el eje x.

En el eje x tenemos que y=0

(x-2)^2+(0+3)^2=16

(x-2)^2 + 9 = 16

(x-2)^2 = 7

x=2 \pm \sqrt{7}

x=+4,6

x=-0,6

Por lo tanto los puntos de intersección son:

(4,6;0)

(-0,6;0)

 

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Ejercicio_05

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la circunferencia  (x+2)^2+(y-1)^2=4  y la recta y=x-3

a)  Representen gráficamente la circunferencia y la recta.

La circunferencia tiene centro (-2,1) y radio 2

La recta tiene ordenada al origen -3 y pendiente 1.

b)  Encuentren analíticamente la intersección entre ambas.

Sustituyendo y=x-3

en (x+2)^2+(y-1)^2=4

tenemos

(x+2)^2+(x-3-1)^2=4

(x+2)^2+(x-4)^2=4

x^2+4x+4+x^2-8x+16-4=0

2x^2-4x+16=0

Usando la fórmula resolvente de una ecuación cuadrática

\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{16-4.2.16}}{4}

\displaystyle x= \frac{4 \pm \sqrt{-112}}{4}

Como la raíz tiene radicando negativo los valores de x no son números reales.

En conclusión la circunferencia y la recta no tienen intersección.

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Ejercicio_04

Ejercicios de Geometría Analítica

Dada la recta 2x + 3y – 4 = 0

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Solución

a)  Representar gráficamente la recta.

b)  Encontrar analíticamente su intersección con el eje x.

y=0

2x+3y-4=0

2x+3.0-4=0

2x-4=0

x=2

(2,0)

c)  Hallar la ecuación de una recta paralela que pasa por (5, 4)

Una de las posibles respuestas

2x+3y-4=0

y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}

Una recta paralela tiene la misma pendiente

y=-\frac{2}{3}x+b

Como debe pasar por (5,4)

4=-\frac{2}{3}.5+b

b=\frac{22}{3}

Por lo tanto

\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{22}{3}

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el origen.

Una recta paralela tiene pendiente opuesta e inversa.

y=\frac{3}{2}x+b

y como pasa por el origen del sistema b=0

Por lo tanto

y=\frac{3}{2}x

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Ejercicio_01

Ejercicios de Geometría Analítica

Dados los puntos A(1,3) y B(-3,4)

a)  Hallar las componentes del vector AB.

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

e) Encontrar la pendiente de la recta.

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

Solución

a) Hallar las componentes del vector AB.

Analíticamente

\vec{AB}=B-A=(-3.4)-(1,3)=(-4,1)

Gráficamente

b)  Representar gráficamente la recta AB.

c)  Hallar la ecuación paramétrica de la recta AB.

Comenzamos por la ecuación vectorial:

(x,y)=(1,3)+(-4,1).t

Ahora la paramétrica

x=1-4t
y=3+t

d) Hallar analíticamente la intersección con los ejes coordenados.

Analíticamente

Intersección con el eje x

y=0

y=3+t \Rightarrow 0=3+t

t=-3

x=1-4t \Rightarrow x=1-4.(-3)

x=13

(13,0)

Intersección con el eje y

x=0

x=1-4t \Rightarrow 0=1-4.t

t=0,25

y=3+t \Rightarrow y=3+0,25

y=3,35

(0;3,25)

Gráficamente

e) Encontrar la pendiente de la recta.

A partir de las componentes del vector

\vec{AB}=(-4,1)

\displaystyle m=\frac{1}{-4}

f)  Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento AB.

P=(x,y)

PA=PB

\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}

(x-1)^2+(y-3)^2=(x+3)^2+(y-4)^2

x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2+6x+9+y^2-8y+16

-2x-6y+10=6x-8y+25

8x-2y+15=0

 

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