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Elipses: representaciones gráficas

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 082009

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

$a=\sqrt{25}=5$

$b=\sqrt{16}=4$

Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

Por lo tanto la coordenadas de los focos son

$F(3,0)$ $F'(-3,0)$

Los vértices y los covértices tienen las siguientes coordenadas

$A(5,0)$ $A'(-5,0)$ $B(0,4)$ $B'(0,-4)$

El gráfico sería:

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{10}=1$

De la gráfica obtenemos que

$a=\sqrt{4}=2$

$b=\sqrt{10}=3,1$

Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema

$c=\sqrt{4-10}=\sqrt{-6}$

El valor de c no es un número real.

El error surje debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el eje y, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámentro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos.

Como solucionamos nuestras cuentas, haciendo un cambio entre a y b. La ecuación que tendremos en cuenta será:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Entonces tenemos:

$a=\sqrt{10}=3,1$

$b=\sqrt{4}=2$

y la distancia focal será

$c=\sqrt{10-4}=\sqrt{6}=2,4$

Ahora hay que tener cuidado con las coordenadas:

Vértices:

$A(0;3,1)$ $A'(0;-3,1)$

Covértices:

$B(2,0)$ $B'(-2,0)$

Focos:

$F(0;2,4)$ $F'(0;-2,4)$

El gráfico sería:

Elipse: elementos

6to Año, Geometría Analítica 12 Responses »

sep 082009

Una elipse con ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Elipse

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 082009

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de la distancias de los puntos a un par de puntos fijos distintos llamados focos es una constante fija.

Para comenzar pongamos los focos sobre el eje x:

$F=(c,0)$ $F'=(-c,0)$

En el gráfico llamamos A y A’ a la intersección de la parábola con el eje x y B y B’ a la intersección con el eje y.

Según la definición:

$d(P,F)+d(P,F')=constante$

¿Qué pasa si el punto P coincide con el punto A?

$d(P,F)+d(P,F')=d(A,F)+d(A,F')=d(A',F')+d(A,F)=d(A,A')=2a$

Por lo tanto:

$d(P,F)+d(P,F')=2a$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

$(\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2=(2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2})^2$

$x^2-2xc+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2$

$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc$

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4a}$

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\frac{xc}{a}$

Elevando nuevamente al cuadrado ambos mienbros tenemos:

$x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{x^2c^2}{a^2}$

$x^2-\frac{c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2$

$\frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2$

Dividiendo ambos miembros por $a^2-c^2$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$

¿Qué pasa en la elipse si P coincide con B?

Observemos que d(P,F)=d(P,F’) eso nos indica, como la suma de ambas era 2a, que d(P,F)=a.

Es decir, tenemos un triángulo rectángulo con catetos b y c, e hipotenusa a. Por lo tanto:

$a^2=b^2+c^2$

$a^2-c^2=b^2$

Reemplazando esta última igualdad en

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$

obtenemos:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ecuación estándar de una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas.

Teorema:

Un punto (x,y) está en la elipse con vértice en (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisface la ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

donde $b^2=a^2-c^2$ .

Parábola: ecuación

6to Año, Geometría Analítica 3 Responses »

sep 072009

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz, que no contiene al foco.

Imaginemos el foco en el punto $(0,c)$ y la directriz dada por la ecuación $x=-c$

De acuerdo con la definición

$\overline{PF}=\overline{PD}$

$\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+(y-y)^2}$

$(x-c)^2+y^2=(x+c)^2$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2$

$y^2=4xc$ Ecuación de la parábola

Si un punto se encuentra sobre la parábola de foco (c,0) y directriz x=-c debe satisfacer la ecuación anterior. Además, como todos los pasos son reversibles podemos afirmar que cualquier punto que satisface la ecuación anterior se encuentra sobre la parábola.

Con un idéntico razonamiento:

Los puntos de una parábola de foco (-c,0) y directriz x=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$y^2=-4xc$
Los puntos de una parábola de foco (o,c) y directriz y=-c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=4yc$
Los puntos de una parábola de foco (o,-c) y directriz y=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=-4yc$

Circunferencia

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 052009

Una circunferencia es el lugar geométricos de los puntos de un plano que equidistan de un punto llamado centro. A la distancia de los puntos al centro se la llama radio.

Llamemos C=(a,b) a las coordenadas del centro y sea P=(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

La distancia del punto P a C es igual a r (radio). Podemos escribir:

$d(P,C)=r$

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ Ecuación de la circunferencia.

Observemos que el radio no puede ser negativo, de lo contrario la ecuación no tendía solución real.
Si el radio fuera cero, la circunferencia se degeneraría en un punto, el centro. (a,b) sería la única solución de la ecuación.
Como todos los pasos para hallar la ecuación son reversibles, podemos decir que todo punto que satisface la ecuación pertenece a la circunferencia.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro (2,-3) y radio 3.
$(x-2)^2+(y+3)^2=9$

¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia con los ejes coordenados?
Intersección con el eje y
$x=0$
Reemplazamos el valor de x en la ecuación de la circunferencia.
$(-2)^2+(y+3)^2=9$
$(y+3)^2=9-4$
$y=-3+\sqrt{5}$ o
$y=-3-\sqrt{5}$
Los puntos de intersección con el eje y son:
$(0;-0,76)$
$(0;-5,24)$
Intersección con el eje “x”
$y = 0$
Reemplazamos y por 0 en la ecuación de la circunferencia.
$(x-2)^2+(3)^2=9$
$(x-2)^2=9-9$
$x=2$
El punto de intersección con el eje x es $(2,0)$
$(2,0)$
Encontrar la intersección de la circunferencia con la recta y=x-3
Para encontrar la intersección de la circunferencia con la recta resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta.
Resolvemos el sistema por sustitución.
$(x-2)^2+(x)^2=9$
$x^2-4x+4+x^2-9=0$
$2x^2-4x-5=0$

$x=\frac{4+\sqrt{16+40}}{4}=2,87$

o

$x=\frac{4-\sqrt{16+40}}{4}=-0,87$

Reemplazamos los valores obtenidos de x en la ecuación de la recta.
$y=-0,13$
o
$y=-3,87$
Los puntos de intersección son:
$(2,87;-0,13)$
$(-0,87;-3,87)$

Ejercicios:

Escribir la ecuación de una circunferencia con centro en (2,3) y radio 5.
Hallar los puntos de intersección de la circunferencia anterior con los ejes coordenados.
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,-1) y tiene a los ejes como tangentes a la circunferencia.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene a los puntos (-2,4) y (2,3) como extremos de un diámetro.
Encontrar los puntos de intersección de $(x-4)^2+(y+1)^2=16$ y $2x+y-4=0$

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