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Ecuaciones de la recta – Ejercitación

6to Año, Geometría Analítica No Responses »

ago 182009

1) Escriban la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que:

a) pasa por el punto (-4,3) y tiene como dirección al vector (5,-2)

b) pasa or el punto (-1,7) y tiene como dirección al vector (2,0)

c) pasa por los puntos (4,1) y (-2,2)

2) Grafiquen en un sistema coordenados las rectas anteriores.

3) ¿Cuáles son las pendientes de las rectas del punto 1?

4) Grafiquen la recta dada por la ecuación

$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}$

¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados?

5) Hallen las ecuación general y la ecuación paramétrica de la recta del gráfico.

Dejen ideas y sugerencias de resolución en los comentarios.

Ecuación continua de la recta

6to Año, Geometría Analítica 2 Responses »

ago 182009

Si en la forma paramétrica despejamos t en ambas ecuaciones obtenemos:

$t=\frac{x-2}{3}$

$t=\frac{y-3}{1}$

igualando las expresiones nos queda la ecuación continua de la recta:

$\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{1}$

En la ecuación continua desaparece el parámetro $t$ y queda una única ecuación.

En forma general podemos escribrir la ecuación continua de la siguiente manera:

$\frac{x-c}{u}=\frac{y-d}{v}$

donde (c,d) son las coordenadas de un punto en la recta y $(u,v)$ son las componentes de un vector sobre la recta.

Ejercitación:

A partir del siguiente gráfico obtengan la ecuación continua de la recta que pasa por los punto A y B.

Ecuación paramétrica de la recta

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

ago 182009

A partir de la ecuación vectorial de una recta:

$(x,y)=(c,d)+t.(u,v)$

$(x,y)=(c,d)+(t.u,t.v)$

$(x,y)=(c+t.u,d+t.v)$

De donde obtenemos las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones parámetricas de la recta.

$x=c+t.u$

$y=d+t.v$

en las cuales las coordenadas $x,y$ dependen de un mismo parámetro $t$ .

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Siguiendo con el ejemplo dado en la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:

$x=2+3t$

$y=3+1t$

observemos que los términos de las ecuaciones corresponden al punto $(2,3)$ y que los coeficientes del parámetro $t$ corresponden a las componentes del vector $(u,v)$ .

Ecuación vectorial de una recta

6to Año, Geometría Analítica 2 Responses »

ago 182009

Supongamos que tenemos una recta r que pasa por el punto O=(2,3) y que tiene una dirección dada por el vector v de componentes (3,1).

Las coordenadas del un punto P de coordenadas (x,y) perteneciente a la recta, pueden obtenerse a partir de:

$\overrightarrow{OP}=t.\overrightarrow{v}$

Recuerden que las componentes de un vector OP pueden obtenerse restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen P – A.

$\overrightarrow{OP}=t.\overrightarrow{OA}$

$P-O=t.(A-O)$

Haciendo un pasaje de términos.

$P=O+t.(3,1)$

$P=(2,3)+t.(3,1)$

$(x,y)=(2,3)+t.(3,1)$

Si generalizamos:

$P=(x,y)$

$A=(c,d)$

$\overrightarrow{v}=(u,v)$

Nos queda:

Ecuación vectorial de la recta: $\bold{(x,y)=(c,d)+t.(u,v)}$

donde $(x,y)$ son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.

$(c,d)$ son las coordenadas de un punto conocido de la recta.

$t$ es un parámetro, puede tomar cualquier real.

$(u,v)$ son las componentes de un vector sobre la recta.

Triángulo equilátero

6to Año, Geometría Analítica No Responses »

ago 172009

a) Representen en un plano cartesiano los puntos A = (-2, 5) y B = (1, -4).

b) Encuentren la distancia entre A y B.

c) Encuentren la pendiente del segmento AB.

d) Encuentren las coordenadas del punto medio del segmento AB.

e) Encuentren las coordenadas de un punto C de tal manera que el triángulo ABC sea equilátero.

Solución en pdf – realizado en Maple 13

Solución en .mw – realizado en Maple 13

a) Puntos A y B

b) Distancia entre A y B.

$d(A,B)=\sqrt{(-2-1)^2+(5-(-4))^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

c) Pendiente del segmento AB.

$\frac{5-(-4)}{-2-1}=\frac{9}{-3}={-3}$

d) Punto medio de AB.

$M=(\frac{-2+1}{2},\frac{5-4}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

e) Coordenadas del punto C

Circunferencia con centro en A que pasa por B.

$C_A=(x+2)^2+(y-5)^2=90$

Circunferencia con centro en B que pasa por A.

$C_B=(x-1)^2+(y+4)^2=90$

Mediatriz del segmento AB.

$C_A=C_B$

$6x-18y+12=0$

$x-3y+2=0$

Despejamos x

$x=3y-2$

Sustituyendo x en la ecuación de la circunferencia con centro en A.

$10y^2-10y-65=0$

$2y^2-2y-13=0$

Aplicando la fórmula resolvente.

$y_1=3,1$

$y_1=-2,1$

Reemplazando estos valores en x.

$x_1=7,3$

$x_2=-8,3$

Los puntos buscados son dos.

$C_1=(7,3;3,1)$

$C_2=(-8,3;-2,1)$

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