Vectores libres

 6to Año, Geometría Analítica, Vectores  No Responses »
mar 202010
 

A diferencia de los vectores fijos, que para ser equivalentes tienen que tener igual:

  • módulo
  • dirección
  • sentido
  • punto de aplicación

Los vectores libres se dice que son equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vale aclarar que para tener la misma dirección los vectores deben estar en la misma recta o en rectas paralelas.

Los vectores u, v y w son equivalentes, el vector z tiene la misma dirección y módulo que los tres anteriores pero diferente sentido por eso no es equivalente a ninguno de ellos.

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Vectores en el plano

 6to Año, Geometría Analítica, Vectores  2 Responses »
mar 202010
 

Para representar muchas cantidades físicas, necesitaremos de un nuevo concepto matemático, que pueda describir no solo la magnitud de dicha cantidad sino también su dirección, ejemplos de éstas son el desplazamiento, la fuerza, la velocidad y la aceleración.

Para cumplir con ese objetivo, usaremos un segmento orientado, que llamaremos vector. Lo representaremos gráficamente por medio de una flecha.

Por ejemplo podemos considerar el vector de origen P que se extiende hasta el punto Q, llamado extremo.

Denotaremos al vector como:

\overrightarrow{PQ}

La dirección del vector es la recta que pasa por los puntos P y Q.

El sentido del vector es de P hacia Q, está indicado por la flecha.

El módulo del vector es la longitud del segmento PQ:

\left |{\overrightarrow{PQ}}\right |

En algunos casos es conveniente denotar al vector con una sola letra, en ese caso, usaremos letras minúsculas:

\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ}

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Suma de vectores con Geogebra

 6to Año, Geometría Analítica, Vectores  1 Response »
mar 102010
 

Usemos el programa Geogebra para trabajar la suma de vectores.

  • Para sumar gráficamente los vectores, deberán: hacerlos coincidir en el origen, trazar por los extremos de cada vector una recta paralela a la dirección del otro vector, marcar el punto de intersección de las dos paralelas. Finalmente el vector suma es el que tiene por origen, el origen de los vectores y como extremo la intersección anterior.
  • Para sumar analíticamente los vectores, hay que sumar sus componentes.

Trabajen en la siguiente página para repasar los conceptos dados. Aquí.

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Distancia entre dos puntos

 6to Año, Geometría Analítica  5 Responses »
mar 022010
 

Para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano, debemos usar el teorema de Pitágoras, para ello tenemos que construir un triángulo rectángulo donde el segmento que me da la distancia entre los dos puntos sea la hipotenusa y los catetos sean verticales y horizontales respectivamente.

Ejemplo:

Supongamos que queremos hallar entre la distancia entre los puntos A=(3,2) y el punto B=(7,4).

Simbólicamente podemos escribir la distancia entre A y B como d(A,B) o \overline{AB}.

distancia

Observen que la longitud del cateto horizontal se halla restando las abscisas de los puntos y el cateto vertical restando las ordenadas. A partir de allí aplicamos el Teorema de Pitágoras.

\overline{AB}^2=4^2+2^2

\overline{AB}^2=16+4

\overline{AB}=\sqrt{20}

\overline{AB}=4,47...

Respondan:

  • ¿Cuál es la distancia entre los puntos P(-2,6) y Q(0,-9)?

Ahora queremos hallar una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos puntos.

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El número e

 6to Año, Análisis Matemático  No Responses »
feb 232010
 

El número e se define como:

e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n

Se lo conoce con el nombre de número de Neper o número de Euler, es un número real y es irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

e=2,718281828...

Supongamos que tenemos $1 y lo ponemos en un banco al 100% anual y se pagan los intereses en un período, tendremos:

1er período = $1 . 2 = $2

Pero si los intereses se pagan en dos períodos tendremos:

1er periodo = $1 . 1,5 = $1,5
2do período = $1,5 . 1,5 = $2,25

En tres períodos, tendríamos.

1er período = $1 . 1,33 = $1,33
2do período = $1,33 . 1,33 = $1,77
3er período = $1,77 . 1,33 = $2,37

Ordenando los datos en una tabla y buscando el capital final con períodos mayores, obtenemos:

Cantidad de períodos Factor de multiplicación Capital Final
1 1+1=2 $2
2 1+1/2=1,5 $2,25
3 1+1/3=1,33 $2,37
4 1+1/4=1,25 $2,44
5 1+1/5=1,2 $2,48
… … …
10 1+1/10=1,10 $2,59
… … …
100 1+1/100 $2,70
… … …
1000 1+1/1000 $2,71

Si quisiéramos saber cual es el capital considerando 10000 períodos, deberíamos realizar la siguiente operación:

\$1.(1+\frac{1}{10000})^{10000}=\$2.718145927

que se aproxima bastante al valor de e.

Usando una calculadora científica, la computadora, wolframalpha o el buscador de google, encuentren el capital retirado utilizando 1 millón de períodos.

(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}

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 Posted by roberprof at 13:47
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