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Análisis Matemático – Ejercicio 2

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may 082011

Dada la función

$g(x)=2^x-3$

a) Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1.

Primero buscaremos las coordenadas del punto por donde pasa la recta tangente.

$P=(x,y)=(1,y)$

$y=g(1)$

Usando Mathematics

$P=(x,y)=(1,-1)$

Ahora tenemos que encontrar la pendiente de la recta, para eso usaremos la derivada de la función.

Usando Mathematics

Reemplazamos x por 1.

La ecuación de una recta tiene la forma:

$y=ax+b$

$y=1,38.x+b$

Dado que (1,-1) pertenece a la recta

despejamos b, usando Mathematics

Por lo tanto:

$y=1,38.x-2,38$

b) Represeten en un mismo gráfico la función g y la recta tangente.

Usando Geogebra

Análisis Matemático – Ejercicio 1

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may 082011

Dada la siguiente función:

$\displaystyle f(x)=\frac{6x+1}{3x-1}$

a) Obtengan la representación gráfica más adecuada para el análisis.

Usaremos el programa Geogebra para obtener la representación gráfica.

El rango usado para el gráfico es x=-5…5 e y=-3…7

b) Analicen completamente la función f.

Dominio

La función f es una función racional, dado que tiene la forma

$\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

El único lugar donde la función no está definida es donde se anula el denominador P(x).

Usando Mathematics 4.0

Por lo tanto:

$Dom(f)=\mathbb{R}\neq\frac{1}{3}$

Imagen

La representación gráfica de la función f tiene dos asintotas una vertical en x = 1/3 y una horizontal cuya ecuación es

$y=Lim_{x\rightarrow \infty}f(x)$

Usando Mathematics

Dado que la gráfica nunca corta la asíntota horizontal, los valores de la función f pueden ser cualquier número real menos el valor de y = 2.

Por lo tanto:

$Im(f)=\mathbb{R}\neq 2$

Raíces

Usando Mathematics

Por lo tanto

$x=-\frac{1}{6}$

es la única raíz de la función f.

Ordenada al origen

$f(0)$

Usando Mathematics

La ordenada al origen de la función f es -1

Conjunto de positividad

Está formado por los valores de x donde la función es positiva.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

$C^+=(-\infty,-\frac{1}{6})(\frac{1}{3},+\infty)$

Conjunto de negatividad

Está formado por los valores de x donde la función es negativa.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

$C^-=(-\frac{1}{6},\frac{1}{3})$

Intervalo de crecimiento

No tiene.

Intervalo de decrecimiento

La función decrece en todo su dominio.

Máximo

No tiene.

Mínimo

No tiene.

c) Encuentre los siguientes límites

$Lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$

Usando Mathematics

$Lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)$

Al ser continua en x=2 el límite anterior es f(2).

Usando Mathematics

Análisis de funciones – Ejercitación

Análisis Matemático 1 Response »

abr 192011

Analicen la función:

$f(x)= \displaystyle \frac{x^2+7x+3}{x^2}$

Intentemos obtener una gráfica adecuada para analizar la función.

Debemos ajustar el dominio del gráfico para observar las características más importantes de la función, en este caso el mínimo.

Dominio

El único caso en que la función no estaría definida en dónde se anula el denominador.

$x^2=0$

$x=0$

Dom : R ≠0

Derivador de funciones

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abr 072011

Introducir la función f(x) a derivar:

Ejemplo:

$f(x)=3x^4-2x^3$

$f'(x)=12x^3-6x$

Aplicaciones de máximos y mínimos

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abr 072011

Ahora estudiaremos problemas expresados en lenguaje cotidiano que tratan sobre máximos y mínimos, dónde se aplican las técnicas de análisis matemático estudiadas antes. En cada problema deberemos maximizar o minimizar una función, la cual en principio puede estar dada incluso en términos de dos variables.

Hallar el punto sobre la gráfica de la ecuación y^2=4x que está más cerca de (2,4).
Solución
Un camión se va a conducir durante 320 km a velocidad constante de x km/h. Las reglamentaciones de velocidad requieren que 50 ≤ x ≤ 100. Supóngase que la gasolina cuesta 15 centavos/litro y se consume a razón de
$\displaystyle 9+\frac{x^2}{500}\frac{ltrs}{hs}$
Si el chofer gana $8 la hora, hallar la velocidad más económica.
La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función:
$V(t)=40+15t-9t^2+t^3$
Donde t es el tiempo en horas transcurriendo desde que comienza el estudio (t = 0)
Indicar los instantes de máxima y mínima de virulencia en las 6 horas y los intervalos en que está crece o decrece.