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Un límite interesante

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mar 282011

Estudiar el siguiente límite:

$\displaystyle lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^{4n}}{n \binom{2n}{n}^2}=$

donde

$\binom{m}{n}=\frac{m!}{(m-n)!.n!}$

es el número combinatorio.

En la calculadora:

$\binom{m}{n} =mCn$

Rectas secantes y tangentes

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mar 282011

Vamos a ver como obtenemos la recta tangente a la curva en el punto P, teniendo en cuenta el límite de las rectas secantes PQ cuando Q se acerca a P.

Haz click en la imagen

Graficador de funciones

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mar 282011

Representar gráficamente funciones:

Ejemplos

$f(x)=x^2+x$
Insertar: x^2+x
$f(x)=Seno(x)$
Insertar: sin x
$f(x)=Seno(x)$
Dominio = [-10;10]
Insertar: sin x from -10 to 10
$f(x)=2^x$
Dominio = [-5;4]
Insertar: 2^x from -5 to 4

Transformaciones de funciones: traslaciones

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mar 262011

Al aplicar ciertas transformaciones a la representación gráfica de una función dada, obtenemos representaciones de funciones relacionadas.

Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x)+c es la gráfica de la función y=f(x) desplazada c unidades hacia arriba. Esto se debe a que cada ordenada de los puntos del gráfico aumentan c unidades.

Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x-c) es la gráfica de la función y=f(x) desplazada dos unidades hacia la derecha. Esto se debe a que si la función tenía un valor en cierto x, ahora dicho valor se lo encontrará en x+c.

Traslaciones: verticales y horizontales

Supongamos que c>0, entonces la gráfica de:

y=f(x)+c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia arriba.

y=f(x)-c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia abajo.

y=f(x-c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la derecha.

y=f(x+c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la izquierda.

Ejemplo (en Geogebra)

Ejemplo (en Mathematics)

Continuidad de una función en un punto

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mar 242011

En muchas ocasiones para hallar el límite de una función en un punto p, es suficiente con el encontrar el valor de la funcion en, es decir, f(p). Se dice que las funciones que tienen ésta propiedad son continuas en el punto p. En este caso, la definción matemática de continuidad se corresponde con el significado de la misma en el lenguaje cotidiano, como un proceso que se cumple gradualmente sin interrupciones ni cambios abruptos.

Una función f(x) es continua en p si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

$\exists f(p)$

$\exists lim_{x \rightarrow p} f(x)$

$lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)$

Resumiendo:

f es continua en p si

$lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)$

Si una función no es continua en el punto p, se dice que es discontinua.

¿En dónde son discontinuas cada una de las siguientes funciones?

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+2}$
$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+2}\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x\neq -2\\1\hspace{3cm}si \hspace{1cm}x=-2\end{array}\right.$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x\neq 0\\1\hspace{1cm}si \hspace{1cm}x=0\end{array}\right.$
$f(x)=\left\|{x}\right\|$