Podemos asegurar que el límite de una función en un punto p existe, si existen los límites laterales y coinciden.
Decimos que una función f(x) tiene límite cuando x tiende a p si y sólo si los límites por la izquierda y por la derecha en p, existen y coinciden.
Podemos analizar el límite de una función en un punto p, pero acercándonos por la derecha (valores mayores a p) o por la izquierda (valores menores a p).
Decimos que f(x) tiende a l cuando x tiende a p por la izquierda si a medida que x toma valores cada vez más cercanos a p, pero menores a él (x < p), entonces f(x) toma valores cada vez más próximos a l.
Decimos que f(x) tiende a l cuando x tiende a p por la derecha si a medida que x toma valores cada vez más cercanos a p, pero mayores a él (p < x), entonces f(x) toma valores cada vez más próximos a l.
Los límites anteriores se llaman límites laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente.
Los límites laterales no siempre coinciden.
Existen tres tipos de asíntotas de a una función:
Asíntotas verticales
Una función f(x) tiene una asíntota vertical en x = p, si existen algunos de los siguientes límites:
Asíntotas horizontales
Una función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = q, si existen algunos de los siguientes límites:
Asíntotas oblicuas
Una función f(x) tiene una asíntota en la recta y = ax + b si existe el siguiente límite:
Analicemos la siguiente función:
¿Qué sucede cuándo los valores de x se aproximan a 2 por la derecha?
?
¿Qué sucede cuándo los valores de x se aproximan a 2 por la izquierda?
?
¿Qué sucede cuándo los valores de x son cada vez mayores?
?
¿Qué sucede cuándo los valores de x son cada vez menores?
?
A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de un función alrededor un valor de x (que hasta podría no pertenecer al dominio) como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener una idea más aproximada del gráfico de una función.
Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, al número l, que es al que se acerca f(x) cuando x toma valores cada vez más cercanos a a.
Dada la función:
Dominio
El dominio de la función son todos los reales distintos de 2.
Tomando valores cercanos a 2 obtenemos la siguiente tabla.
| x | f(x) |
| 3 | 5 |
| 2,5 | 4,5 |
| 2,1 | 4,1 |
| 2,001 | 4,001 |
| 2 | ? |
| 1,999 | 3,999 |
| 1,9 | 3,9 |
| 1,5 | 3,5 |
| 1 | 3 |
![lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-(ax+b)]=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=lim_%7Bx+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Bf%28x%29-%28ax%2Bb%29%5D%3D0&bg=ffffff&fg=000&s=0 "lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-(ax+b)]=0")
