Con ayuda de los cuatro axiomas lineales II 1-4, podemos fácilmente deducir los siguientes teoremas:
Teorema 3:
Entre dos puntos de una recta, existen infinitos puntos.
Teorema 4:
Si tenemos un número finito de puntos situados en una recta, podemos siempre ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E, … , K tal que B esté entre A y C, D, E, … ,K; C esté entre A, B y D, E, … , K; D esté entre A, B, C y E, … , K, etc.
Aparte de este orden de sucesión, existe otro con propiedades similares, el orden inverso, K, … , E, D, C, B, A.
Teorema 5:
Toda recta a que se encuentra en un plano α, divide al resto de los puntos en dos regiones que tienen las siguientes propiedades: Todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de la recta a. Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ de la misma región determinan un segmento AA’ que no contiene ningún punto de a.
Si A, A’, O B son cuatro puntos de una recta a, donde O se encuentra entre A y B pero no entre A y A’, entonces podemos decir: Los puntos A, A’ están situados del mismo lado con respecto a O, y los puntos A y B están situados sobre diferentes lados del punto O.
Todos los puntos de a que se encuentran del mismo lado del punto O, tomados juntos, son llamados semirrecta de origen O. Por lo tanto, cada punto de una recta divide a la misma en dos semirrectas.
Haciendo uso de la notación del teorema 5, decimos: los puntos A, A’ están en un plano α sobre el mismo lado con repecto a la recta a, y los puntos A y B están en lados diferentes con respecto a la recta a.
Definiciones:
Un sistema de segmentos AB, BC, CD, … , KL es llamado línea quebrada que une A con L, y es designada brevemente, como la línea quebrada ABCDE … KL. Los puntos que se encuentran sobre los segmentos AB, BC, CD, … ,KL, como así también los puntos A, B, C, D, … , K, L son llamados los puntos de la línea quebrada. En particular, si el punto A coincide con el punto L, la línea quebrada es llamada polígono ABCD … K. Los segmentos AB, BC, CD, … , KA son llamados lados del polígono y los puntos A, B, C, D, …, K los vértices. Los polígonos que tiene 3, 4, 5, … , n vértices son llamados, respectivamente, triángulos, cuadrángulos, pentágonos, … , n-ágonos. Si los vértices de un polígono son todos distintos y no se encuentran sobre los segmentos que componen los lados del polígono, y, además, si dos lados no tienen puntos en común, entonces el polígono es llamado polígono simple.
Con ayuda del teorema 5, podemos obtener ahora, sin serias dificultades, los siguientes teoremas:
Teorema 6:
